Harmonischer 3D-Quantum-Oszillator

Question

Harmonischer 3D-Quantum-Oszillator

walter w

Für ein isotropes 3D-QHO in einem Potential

v (X, j, z) = \frac{1}{2} M ω^{2} (X^{2} + j^{2} + z^{2}) .

$V(x,y,z)={1\over 2}m\omega^2(x^2+y^2+z^2).$ Ich kann durch die Unabhängigkeit des Potenzials in der sehen

x, y, z

$x,y,z$ Koordinaten, dass die Lösung der Schrödinger-Gleichung die Form hätte

ψ (X, j, z) = F (X) G (j) H (z) .

$\psi(x,y,z)=f(x)g(y)h(z).$ Explizit, was wäre es? Ist es

ψ (X, j, z) = C H_{N_{X}} H_{N_{j}} H_{N_{z}} e^{- \frac{M ω}{2 ℏ} (X^{2} + j^{2} + z^{2})},

$\psi(x,y,z) = cH_{n_x}H_{n_y}H_{n_z}e^{-{m\omega\over2\hbar}(x^2+y^2+z^2)},$ Wo

H_{n_{i}}

$H_{n_i}$ sind die

i t h

$ith$ Hermites Polynom? (Eine Nebenabfrage, da das Potential radial ist, gibt es sicherlich eine Lösung in Polarkoordinaten, die besser sein könnte? Aber dies wird in der Frage nicht verlangt. Bedeutet isotrop auch nur, dass das Potential kugelsymmetrisch ist ? )

Wie viele linear unabhängige Zustände haben Energie

E = ℏ ω (\frac{3}{2} + N) ?

$E=\hbar\omega({3\over2}+N)~?$ Soll ich die Anzahl der Kombinationen von zählen?

n_{x}, n_{y}, n_{z}

$n_x,n_y,n_z$ st

n_{x} + n_{y} + n_{z} = N

$n_x+n_y+n_z = N$ ? Ich erinnere mich vage an eine Vorstellung

(n, l)

$(n,l)$ einmal erwähnt, aber ich kann mich nicht erinnern, was es ist, noch die Notizen dazu finden.

JT_NL

@JM: Wenn Sie es als Frage zum Ornstein-Uhlenbeck-Operator sehen, passt es hier ;-).

jorik

So sehr ich die Frage auch beantworten möchte, ich denke, sie gehört zu Physics.SE. Die Antworten sind Physikern wohlbekannt. Siehe zB en.wikipedia.org/wiki/… .

Tomáš Brauner

Alle Ihre Fragen werden hier beantwortet , siehe insbesondere Abschnitt über den N-dimensionalen harmonischen Oszillator.

walter w

Danke Tomas. Irgendwas verstehe ich noch nicht ganz. Entspricht dem Grundzustand des Systems

N = 1

$N=1$ In

E = ℏ ω (\frac{3}{2} + N) = ℏ ω (\frac{3}{2} + n_{x} + n_{y} + n_{z})

$E=\hbar\omega\left({3\over2}+N\right)=\hbar\omega\left({3\over2}+n_x+n_y+n_z\right)$ ? Aber dann denke ich das

n_{i}

$n_i$ Das muss sein

\geq 1

$\geq1$ ? Und ich verstehe nicht ganz, was linear unabhängige Staaten in diesem Zusammenhang bedeuten. Was muss ich überprüfen, um zu zeigen, dass sie LI sind?

Tomáš Brauner

Der Grundzustand entspricht

N = 0

$N=0$ wie alle

n_{i}

$n_i$ Das muss sein

\geq 0

$\geq0$ . Die Besetzungszahlen

n_{i}

$n_i$ sind Eigenwerte der wechselseitig kommutierenden hermiteschen Operatoren

a_{i}^{†} a_{i}

$a_i^\dagger a_i$ . Zwei beliebige Zustände mit unterschiedlichen Sätzen von

n_{i}

$n_i$ sind also orthogonal, also auch linear unabhängig. Wie Sie sagen, müssen Sie, um die Entartung der Energieniveaus zu finden, dann nur die Anzahl der Lösungen der Gleichung finden

n_{x} + n_{y} + n_{z} = N

$n_x+n_y+n_z=N$ mit nicht negativen ganzen Zahlen

n_{i}

$n_i$ . Sie können das gleiche Ergebnis auch mit den Polarkoordinaten-Quantenzahlen ableiten

n, l

$n,l$ - dazu siehe Wikipedia.

Antworten (1)

Harmonischer 3D-Quantum-Oszillator

@JM: Wenn Sie es als Frage zum Ornstein-Uhlenbeck-Operator sehen, passt es hier ;-).
So sehr ich die Frage auch beantworten möchte, ich denke, sie gehört zu Physics.SE. Die Antworten sind Physikern wohlbekannt. Siehe zB en.wikipedia.org/wiki/… .
Alle Ihre Fragen werden hier beantwortet , siehe insbesondere Abschnitt über den N-dimensionalen harmonischen Oszillator.
Danke Tomas. Irgendwas verstehe ich noch nicht ganz. Entspricht dem Grundzustand des Systems $N=1$ In $E=\hbar\omega\left({3\over2}+N\right)=\hbar\omega\left({3\over2}+n_x+n_y+n_z\right)$ ? Aber dann denke ich das $n_i$ Das muss sein $\geq1$ ? Und ich verstehe nicht ganz, was linear unabhängige Staaten in diesem Zusammenhang bedeuten. Was muss ich überprüfen, um zu zeigen, dass sie LI sind?
Der Grundzustand entspricht $N=0$ wie alle $n_i$ Das muss sein $\geq0$ . Die Besetzungszahlen $n_i$ sind Eigenwerte der wechselseitig kommutierenden hermiteschen Operatoren $a_i^\dagger a_i$ . Zwei beliebige Zustände mit unterschiedlichen Sätzen von $n_i$ sind also orthogonal, also auch linear unabhängig. Wie Sie sagen, müssen Sie, um die Entartung der Energieniveaus zu finden, dann nur die Anzahl der Lösungen der Gleichung finden $n_x+n_y+n_z=N$ mit nicht negativen ganzen Zahlen $n_i$ . Sie können das gleiche Ergebnis auch mit den Polarkoordinaten-Quantenzahlen ableiten $n,l$ - dazu siehe Wikipedia.

Valdo · Answer 1

Ihre Lösung ist richtig (Multiplikation von 1D-QHO-Lösungen).
Da das Potential radialsymmetrisch ist, pendelt es mit dem Drehimpulsoperator ( $L^2$ Und $L_z$ zum Beispiel). Daher können Sie eine Lösung der Form erstellen $|nlm>$ Wo $n$ Zustände für die radiale Zustandsbeschreibung und $l_m$ - das Eckige. Ist es besser? Hängt vom Problem ab. Es ist nur die andere Basis, auf der Sie die Lösung darstellen können.
Isotrop - bedeutet wahrscheinlich das, was Sie vorschlagen - das Potenzial ist kugelsymmetrisch. Hängt vom Kontext ab.
Ja, Sie müssen die Anzahl der Kombinationen zählen, bei denen $n_x+n_y+n_z=N$ .

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walter w

JT_NL

jorik

Tomáš Brauner

walter w

Tomáš Brauner

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Valdo

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