Harmonischer Oszillator modifiziert durch unendlichen Brunnen: sind analytische Lösungen möglich?

Die Wellenfunktion$\psi(x)$wird die Schrödinger-Gleichung für den harmonischen Oszillator auf einem Intervall erfüllen$x\in (-\frac L2 , \frac L2)$. Wir könnten es schreiben als

$$\psi '' +\left(\frac{2E}{\hbar \omega} - \xi^2\right) \psi =0,\tag{1}$$ Wo $\xi = \sqrt{\frac{m\omega}\hbar} x$ist die Neuskalierung $x$-Koordinate und Bindestrich bezeichnet Differenzierung bzgl $\xi$.

Allerdings hat die Gleichung nun neue Randbedingungen:

$$\psi\left(\pm \sqrt{\frac{m\omega}\hbar} \frac L2\right)=0. \tag{2}$$ Um sie zu lösen, müssen wir also die allgemeine Lösung der Gleichung (1) schreiben. Dies geschieht in Form von konfluenten hypergeometrischen Funktionen $M$Und $U$: $$\psi(\xi) = e^{-\frac{\xi^2}2 }\,\left(C_1 \xi\, M\left(\frac34 - \frac{E}{2\hbar \omega},\frac 32,\xi^2\right)+C_2 \xi\, U\left(\frac34 - \frac{E}{2\hbar \omega},\frac 32,\xi^2\right)\right).$$ ( Für den allgemeinen Wert des Parameters$E$diese Wellenfunktion kann nicht auf Polynom mal Exponential reduziert werden ).

Da das Potential eine gerade Funktion ist, können wir dies fordern$\psi$muss eine bestimmte Parität haben. Damit können wir einen der Koeffizienten eliminieren:

• $\psi$ ungerade ($\psi(0)=0$):$C_2=0.$

• $\psi$ sogar ($\psi'(0)=0$):

  $$C_2 = \frac{1}{2\sqrt\pi} \Gamma \left(\frac 14 - \frac{E}{2\hbar \omega} \right) C_1$$

Koeffizient$C_1$wird also nur durch die Norm von bestimmt$\psi$und sollten nicht in die Berechnungen des Energiespektrums eingehen. Der einzige verbleibende Parameter ist die Energie$E$, die durch Auferlegen der Randbedingung (2) bestimmt werden muss (nur eine der Gleichungen wird benötigt, da wir bereits Parität auferlegt haben). Dies würde uns das Energiespektrum des Systems geben.

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^{Beachten Sie, dass wenn der Wert$\xi=\sqrt{\frac{m\omega}\hbar}\frac L2$zufällig mit einer der Wurzeln eines Hermite-Polynoms zusammenfällt$H_n(\xi)$, dann die Energie$\hbar\omega(n+\frac12)$und Wellenfunktion$\psi_n$eines harmonischen Oszillators wäre die Lösung für dieses System. Aber natürlich die Nummer$n$in diesem Fall würde nicht bedeuten, dass dies der Fall ist$n$-te Ebene.}

Ich denke, in diesem Fall ist das Quadrat wohl der dominierende Effekt, denn für jeden Wert von$m\omega_0^2$das Brunnenpotential ist immer stärker. Daher könnte man mit den Brunnenlösungen beginnen und die Energieverschiebung erster Ordnung aufgrund des harmonischen Oszillatorpotentials berechnen:

$$E_n^{(1)} = \left\langle n^{(0)} \right| V_1 \left|n^{(0)} \right\rangle$$ sowie Korrekturen höherer Ordnung. Ich vermute, dass Sie wollen $\frac{1}{2} m \omega_0^2 \frac{L^2}{4}$viel kleiner sein als $\frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2 m L^2}$.

Was eine "exakte" Lösung betrifft, erinnern Sie sich an die Reihenmethode zum Lösen des harmonischen Oszillatormodells (dies wird in jedem QM-Lehrbuch durchgeführt), wo Sie die Wellenfunktion als polynomische Multiplikation schreiben$e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}$, und erhalten Sie dann eine Wiederholungsrelation für dieses Polynom. Nun, ich vermute, dass Sie in diesem Fall die andere Hälfte, dh eine Polynommultiplikation, nicht verwerfen wollen$e^{+\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}$. Dies führt zu einer Gleichung, die nicht ganz der Hermite-Gleichung entspricht. Außerdem endet bei der gewöhnlichen Behandlung die Wiederholungsbeziehung (was diskrete Eigenwerte ergibt), um zu verhindern, dass die Lösung bei explodiert$x\to \infty$. Hier verlangen wir dies jedoch stattdessen$\psi\left(\frac{L}{2}\right) = 0$, was eine andere Anforderung ist.