Harmonisches Oszillatorpotential, Beweis dafür, dass Gaußsche Gaußsche bleiben?

Question

Harmonisches Oszillatorpotential, Beweis dafür, dass Gaußsche Gaußsche bleiben?

André

Ich habe in mehreren Artikeln gelesen, dass für einen harmonischen Oszillator-Hamilton-Operator in der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung ein Gauß-Wellenpaket Gauß-Operator bleibt.

Leider konnte ich keinen Beweis für diese Aussage finden und der Versuch, sie selbst zu verifizieren, ist mir nicht gelungen. Wenn ich einen allgemeinen Ansatz mache mit einem kugelsymmetrischen Gaußschen Wellenpaket mit zeitabhängiger Breite und zeit- und ortsabhängiger Phase

ψ (T, \vec{X}) = (π A (T)^{2})^{- 3 / 4} \exp (- \frac{X^{2}}{2 A (T)^{2}} + ich ϕ (T, \vec{X}))

$\psi(t,\vec x) = (\pi a(t)^2)^{-3/4} \exp\left(-\frac{x^2}{2 a(t)^2} + i \phi(t,\vec x)\right)$ und in die Schrödinger-Gleichung einsetzen

ich \dot{ψ} (T, \vec{X}) = - \frac{1}{2 M} Δ ψ (T, \vec{X}) + \frac{k}{2} X^{2} ψ (T, \vec{X})

$i \dot{\psi}(t,\vec x) = -\frac{1}{2m} \Delta\psi(t,\vec x) + \frac{k}{2} x^2 \psi(t,\vec x)$ Ich erhalte relativ komplizierte Differentialgleichungen mit erstmaligen Ableitungen von a und

ϕ

$\phi$ sowie räumliche Ableitungen erster und zweiter Ordnung von

ϕ

$\phi$ . Ich konnte diese Gleichungen nicht lösen oder auch nur zeigen, dass eine Lösung existiert.

Gibt es eine einfache Möglichkeit, dies zu zeigen?

Gibt es eine Referenz, wo das gezeigt wird?

Welches sind die Lösungen für $a(t)$ Und $\phi(t,\vec x)$ für eine Gaußsche (bei gegebenen Anfangsbedingungen $a(0) = \sigma$ Und $\phi(0,\vec x)=0$ )?

Danu

Vielleicht könnten Sie versuchen, mithilfe der räumlichen Fourier-Zerlegung in den Fourier-Raum zu gelangen?

André

@Danu: Würde mir das nicht genau die gleichen Gleichungen geben? Da die Fourier-Transformation einer Gauß-Funktion wieder eine Gauß-Funktion und in der Hamilton-Funktion ist

x^{2}

$x^2$ Und

p^{2}

$p^2$ symmetrisch erscheinen?

Danu

Ich habe schon früher gesehen, wie eine Fourier-Transformation einige Berechnungen mit Gaußschen vereinfacht, aber es liegt an Ihnen, ob Sie es versuchen möchten.

QMechaniker

Mehr zu Gaußschen Wellenpaketen: physical.stackexchange.com/search?q=Gaußian+wave+packet

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Harmonisches Oszillatorpotential, Beweis dafür, dass Gaußsche Gaußsche bleiben?

Vielleicht könnten Sie versuchen, mithilfe der räumlichen Fourier-Zerlegung in den Fourier-Raum zu gelangen?
@Danu: Würde mir das nicht genau die gleichen Gleichungen geben? Da die Fourier-Transformation einer Gauß-Funktion wieder eine Gauß-Funktion und in der Hamilton-Funktion ist $x^2$ Und $p^2$ symmetrisch erscheinen?
Ich habe schon früher gesehen, wie eine Fourier-Transformation einige Berechnungen mit Gaußschen vereinfacht, aber es liegt an Ihnen, ob Sie es versuchen möchten.
Mehr zu Gaußschen Wellenpaketen: physical.stackexchange.com/search?q=Gaußian+wave+packet

Emilio Pisanty · Answer 1

Das Problem muss etwas strukturierter sein, und ich würde empfehlen, dass Sie davon profitieren. Vor allem das wissen Sie $\phi$ ist wirklich eine lineare Funktion von $x$ , oder ansonsten ist es keine Gaußsche; und dass der Real- und der Imaginärteil seines Koeffizienten eine unterschiedliche physikalische Bedeutung haben, die Sie erhalten können, indem Sie geeignete Erwartungswerte verwenden. Wenn Sie diese dann anwenden, können Sie Ihren Ansatz gestalten

⟨ \vec{X} | ψ (T) ⟩ = ψ (T, \vec{X}) = (π A (T)^{2})^{- 3 / 4} \exp (- \frac{(\vec{X} - {\vec{X}}_{0} (T))^{2}}{2 A (T)^{2}} + ich {\vec{P}}_{0} (T) \cdot \vec{X} / H) .

$\langle \vec x|\psi(t)\rangle= \psi(t,\vec x) = (\pi a(t)^2)^{-3/4} \exp\left(-\frac{(\vec x-\vec x_0(t))^2}{2 a(t)^2} + i \vec p_0(t)·\vec x/ħ\right).$ Noch besser, Sie können ganz einfach die Erwartungswerte von Ort und Impuls berechnen

⟨ ψ (T) | \vec{X} | ψ (T) ⟩ = {\vec{X}}_{0} (T)

$\langle\psi(t)|\vec x|\psi(t)\rangle=\vec x_0(t)$ Und

⟨ ψ (T) | \vec{P} | ψ (T) ⟩ = {\vec{P}}_{0} (T),

$\langle\psi(t)|\vec p|\psi(t)\rangle=\vec p_0(t),$ und Sie können den Satz von Ehrenfest anwenden, um aussagekräftige, einfach zu lösende Bewegungsgleichungen für diese Größen zu erhalten. Dies schränkt Ihre Lösung vollständig ein.

Natürlich sollte Ihnen das etwas unangenehm sein, weil Sie das nicht bewiesen haben $\psi(t,\vec x)$ ist eine Lösung des TDSE ... aber das herauszufinden ist ein paar Differenzierungen entfernt. Da Sie sowieso wissen, dass es eine Lösung ist, sind Sie auf ziemlich sicherem Boden.

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André

Danu

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Emilio Pisanty

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