Augenblickliche Energieeigenzustände für einen erzwungenen harmonischen Oszillator

Ich interessiere mich für die Anwendung des adiabatischen Satzes auf den erzwungenen harmonischen Oszillator mit zeitabhängigem Hamiltonian der Form:

H ( T ) = ℏ ω ( A † A + 1 2 ) − F ( T ) A − F ∗ ( T ) A †

Wo F ( T ) ist eine beliebige Funktion der Zeit und F ∗ ( T ) ist sein komplexes Konjugat. Ich habe das Problem genau für den Systemzustand gelöst | Ψ ( T ) ⟩ das ist ein kohärenter Zustand. Um das adiabatische Theorem anzuwenden, muss ich nach den momentanen Eigenzuständen des Hamilton-Operators auflösen | E R ( T ) ⟩ , die nicht mit dem Systemstatus identisch sind | Ψ ( T ) ⟩ . | E R ( T ' ) ⟩ ist ein Eigenzustand von H ( T ' ) nur zur zeit T = T '

Ich bin mir nicht sicher, wo ich anfangen soll, ich habe versucht, die Eigenzustände als lineare Kombination der angeregten Zustände des einfachen harmonischen Oszillators zu erweitern, genau wie ein kohärenter Zustand. Bin aber hängen geblieben. Kann mich jemand in die richtige Richtung weisen?

Das adiabatische Theorem bezieht sich auf eine Energielücke zwischen Zuständen. Soweit ich weiß, handelt es sich bei Ihrem Hamiltonian um einen einzelnen isolierten Zustand, da es keinen Index bei den Erstellungs- / Vernichtungsoperatoren gibt.
@Adam der Beitrag, auf den Sie verwiesen haben, hat einen Hamiltonian, bei dem die einzige Konstante ist ω damit sie ihren Hamiltonian faktorisieren können. Ich bin mir nicht sicher, ob ich meine in einer Form wie ihre bekommen kann.
@CStarAlgebra: Schau dir die zweite Antwort an. Es gibt den allgemeinen Fall.

Antworten (1)

Um die momentanen Energie-Eigenzustände zu finden, müssen Sie behandeln T als Parameter und löse das Problem für einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator in Abhängigkeit des zusätzlichen Parameters T .

Der beste Weg, dies zu tun, besteht darin, das Quadrat zu vervollständigen und den Hamilton-Operator wie folgt zu schreiben:

H = ℏ ω ( A † A + 1 2 ) − F ( T ) 2 ℏ ω

Wo

A = A − F ( T ) ℏ ω
A † = A † − F ( T ) ℏ ω

Da sich die Vertauschungsrelationen nicht ändern:

[ A , A † ] = [ A , A † ] = 1
Dieser Hamiltonoperator ist nur ein verschobener harmonischer Oszillator-Hamiltonoperator, dessen (augenblickliche) Eigenwerte sind:
E N = ℏ ω ( N + 1 2 ) − F ( T ) 2 ℏ ω

Nun ist folgende Vorsicht geboten. Um die exakte und die momentane Lösung zu vergleichen und das adiabatische Theorem zu verifizieren, müssen sie in Bezug auf die gleichen Koordinaten ausgedrückt werden. Im vorliegenden Fall wird die Verschiebung der Hebe- und Senkoperatoren in den Positionsoperator übersetzt:
X = A + A † = A + A † = X − 2 F ( T ) ℏ ω
Die Abhängigkeit der momentanen Eigenfunktionen wird von der verschobenen Ortskoordinate sein Ψ N ( X ) .

Augenblickliche Energieeigenzustände für einen erzwungenen harmonischen Oszillator
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