Schrödinger-Gleichung für einen harmonischen Oszillator

Zunächst sollten Sie sich daran erinnern, dass die Schrödinger-Gleichung eine Eigenwertgleichung ist. Wenn Sie mit Eigenwertgleichungen nicht vertraut sind, sollten Sie so bald wie möglich ein Mathematikbuch oder einen Kurs zu Rate ziehen.

Antwort 1 (ich entschuldige mich, ich werde meine eigene Notation verwenden, da dies hauptsächlich Kopieren und Einfügen aus meinen alten Notizen ist):

Definieren Sie zuerst Konstanten

$$\begin{equation} x_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} , \end{equation}$$ $$\begin{equation} p_0 = \frac{\hbar}{x_0} = \sqrt{\hbar m \omega} , \end{equation}$$ und dimensionslose Operatoren $$\begin{equation} \hat{X} = \frac{1}{x_0} \hat{x} , \end{equation}$$ Und $$\begin{equation} \hat{P} = \frac{1}{p_0} \hat{p} . \end{equation}$$

Ihre Vertauschungsrelation ist dann

$$\begin{equation} \left[ \hat{X} , \hat{P} \right] = \left[ \frac{1}{x_0}\hat{x} , \frac{1}{p_0}\hat{p} \right] = \frac{1}{x_0 p_0} \left(\hat{x} \hat{p} - \hat{p} \hat{x} \right) = \frac{1}{x_0 p_0} \left[ \hat{x} , \hat{p} \right] = \frac{i\hbar}{x_0 p_0} = i , \end{equation}$$ als $$\begin{equation} x_0 p_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} \sqrt{\hbar m\omega} = \hbar . \end{equation}$$

Schreiben Sie nun Hamiltonian in Bezug auf$\hat{X}$Und$\hat{P}$. Beginnen mit

$$\begin{equation} \hat{H} = \frac{p_0 ^2}{2m} \hat{P} ^2 + \frac{1}{2} m\omega^2 x_0 ^2 \hat{X}^2 . \end{equation}$$

Beachte das

$$\begin{equation} p_0 ^2 = \hbar m \omega \end{equation}$$ Und $$\begin{equation} x_0 ^2 = \frac{\hbar}{m \omega} , \end{equation}$$ somit $$\begin{equation} \hat{H} = \frac{\hbar \omega}{2} \hat{P}^2 + \frac{\hbar \omega}{2} \hat{X}^2 = \frac{\hbar \omega}{2} \left(\hat{X}^2 + \hat{P}^2 \right). \end{equation}$$

Bis auf die Vertauschungsrelation können wir schreiben

$$\begin{equation} \left(X^2 + P^2 \right) = \left(X - iP \right) \left(X + iP \right) . \end{equation}$$

Andererseits ist dies für Betreiber nicht ganz erlaubt, da

$$\begin{align} \left(\hat{X} - i\hat{P} \right) \left(\hat{X} + i\hat{P} \right) &= \hat{X}^2 + i\hat{X}\hat{P} - i\hat{P}\hat{X} + \hat{P}^2 \nonumber \\ &= \hat{X}^2 +i \left(\hat{X}\hat{P} - \hat{P}\hat{X}\right) + \hat{P}^2 \\ &= \hat{X}^2 + i \left[ \hat{X} , \hat{P} \right] + \hat{P}^2 = \hat{X}^2 + \hat{P}^2 - 1 \nonumber , \end{align}$$ so hat man $$\begin{equation} \left(\hat{X}^2 + \hat{P}^2 \right) = \left(\hat{X} - i\hat{P} \right) \left(\hat{X} + i\hat{P} \right) + 1 . \end{equation}$$

Jetzt können wir definieren

$$\begin{equation} \hat{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\hat{X} + i\hat{P} \right) , \end{equation}$$ Und $$\begin{equation} \hat{a}^\dagger = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\hat{X} - i\hat{P} \right), \end{equation}$$ Aufruf dieses Erstellungsoperators und $\hat{a}$- Vernichtungsoperator. Beachten Sie, dass wir jetzt Hamiltonian in Form von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ausdrücken können: $$\begin{equation} \hat{H} = \frac{\hbar\omega}{2} \left(\sqrt{2} \hat{a} ^\dagger \sqrt{2} \hat{a} + 1 \right) = \hbar \omega \left(\hat{a} ^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2} \right) . \end{equation}$$

Wir können aber auch den Zahlenoperator definieren,$\hat{N} = \hat{a} ^\dagger \hat{a}$, also endlich bekommen

$$\begin{equation} \hat{H} = \hbar \omega \left(\hat{N} + \frac{1}{2} \right) . \end{equation}$$

Gehen Sie nun ein wenig zur Seite und betrachten Sie die Operatoren für die Erzeugung und die Vernichtung. Per Definition,

$$\begin{equation} \hat{a}^\dagger \left| n \right\rangle = \sqrt{n + 1} \left| n + 1 \right\rangle , \end{equation}$$ $$\begin{equation} \hat{a} \left| n \right\rangle = \sqrt{n} \left| n - 1 \right\rangle , \end{equation}$$ Wo $\left| n \right\rangle$ist der Eigenzustand von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sowie des Hamiltonoperators (aufgrund der Tatsache, dass sie pendeln - Hausaufgabe zu beweisen).

Jetzt

$$\begin{equation} \hat{a}^\dagger\hat{a} \left| n \right\rangle = \hat{a}^\dagger \sqrt{n} \left| n - 1 \right\rangle = \sqrt{n} \sqrt{n} \left| n \right\rangle = n \left| n \right\rangle , \end{equation}$$ schließen Sie also, dass der Eigenwert eines Zahlenoperators $\hat{N}$, ist nur $n$, also wenn wir jetzt den Hamilton-Operator in der Schrödinger-Gleichung anwenden, erhalten

$$\begin{equation} \hat{H} \psi = E \psi , \end{equation}$$ $$\begin{equation} E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2} \right) , \end{equation}$$ das ist genau das Ergebnis, das Sie gesucht haben.

Antwort 2:

Zuallererst sollten Sie sich daran erinnern, dass das allgemeine Ziel der Lösung eines Eigenwertproblems darin besteht, eine Menge von Eigenvektoren zu finden, aber keinen einzelnen Eigenvektor. In Ihrem Fall sollte die Gleichung in geändert werden

$$\begin{equation} \frac{d^2 \psi_n}{dx^2} + \left[(2n + 1) - \varepsilon^2\right]\psi_n = 0 , \end{equation}$$ Wo $\psi_n$sind Eigenvektoren (Eigenfunktionen), die Eigenwerten entsprechen $E_n$. Versuchen Sie ein wenig nachzudenken und erklären Sie die physikalische Bedeutung vieler Energieeigenwerte in der Quantenmechanik.

Kehren Sie nun zur allgemeinen Theorie der Eigenwertgleichungen zurück. Obwohl ich die von Ihnen geschriebene Gleichung nie getroffen habe, kann ich keine Stelle finden, an der sie falsch sein kann, abgesehen von der gerade aufgezeigten. Allerdings sehe ich nicht, wie weit du davon gehen kannst.

Antwort 3:

Hermite-Polynome gehen normalerweise über Standardkurse zur Quantenmechanik hinaus. Wenn Sie Legendre, Tschebyscheff und/oder andere Polynome kennen, können Sie vermuten, dass Hermite-Polynome als Lösung für eine Differentialgleichung abgeleitet werden, und dies widerspricht nicht der Definition von$\psi$.

Wie ich bereits erwähnt habe, gehen Hermite-Polynome normalerweise über Standardkurse zur Quantenmechanik hinaus. Normalerweise sollten Sie sie auf dieser Ebene nicht ableiten. Wenn Sie jedoch immer noch interessiert sind, können Sie sich an Google wenden oder hier eine andere Frage stellen.

Ich hoffe, Ihre Fragen sind nun vollständig beantwortet. Sollten Sie jedoch weitere Kommentare benötigen, sind Sie herzlich willkommen.