Lösungen des harmonischen Oszillators sind nicht nicht nicht immer eine Kombination von trennbaren Lösungen?

Gibt es Lösungen der Schrödinger-Gleichung, die keine Linearkombination von trennbaren Lösungen sind, und wie findet man sie?

In Griffiths, Quantum, Prob. 2.49 gibt es eine Lösung der (zeitabhängigen ) Schrödinger-Gleichung, die lautet

Ψ ( X , T ) = ( M ω π ℏ ) 1 / 4 exp ⁡ [ − M ω 2 ℏ ( X 2 + A 2 2 ( 1 + e − 2 ich ω T ) + ich ℏ T M − 2 A X e − ich ω T ) ] .
Es scheint, dass dies keine lineare Kombination der stationären Zustände ist, die er zuvor in diesem Kapitel gefunden hat.

Wenn dies der Fall ist, bedeutet dies, dass das Lösen der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung durch Trennung der Variablen nicht die allgemeine Lösung ergibt, wie der Autor behauptete? Wenn ja, wie finden wir die anderen Lösungen?

Antworten (1)

Manchmal sind die Erweiterungen nicht offensichtlich. Zum Beispiel die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators

ich ∂ T ψ = − 1 2 ∂ X 2 ψ + 1 2 ω 2 X 2 ψ
hat eine „atmende“ Lösung
ψ ( X , T ) = ( ω π ) 1 / 4 1 e ich ω T + R e − ich ω T exp ⁡ { − ω 2 ( 1 − R e − 2 ich ω T 1 + R e − 2 ich ω T ) X 2 } ,
wo der Parameter | R | < 1 .

Die Formel von Mehler gibt die Expansion in Bezug auf die Zustände als an

ψ ( X , T ) = π 1 / 4 ∑ N = 0 ∞ e − ich ( N + 1 / 2 ) ω T φ N ( 0 ) ( ich R ) N φ N ( ω X ) ( ω ) 1 / 4 .
Hier
φ N ( X ) ≡ 1 2 N N ! π H N ( X ) e − X 2 / 2
ist das Normalisierte ω = 1 Wellenfunktion des harmonischen Oszillators. Jetzt φ N ( 0 ) verschwindet wenn N ist seltsam, und
π 1 / 4 φ 2 N ( 0 ) = 1 4 N ( 2 N ) ! ( 2 N ) ! N ! ( − 1 ) N .
so hat man eine Menge von ziemlich "nicht offensichtlichen" Entwicklungskoeffizienten gefunden.

Lösungen des harmonischen Oszillators sind nicht nicht nicht immer eine Kombination von trennbaren Lösungen?
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