Exakte Lösung in geschlossener Form für den harmonischen Quantenoszillator

Beachten Sie zunächst Folgendes: Wenn$\psi(x,0)$ist dann jede normalisierbare Wellenfunktion in Ihrem Hilbert-Raum$\psi(x,t) = e^{-iHt} \psi(x,0)$(Ich habe eingestellt$\hbar = 1$) erfüllt die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung (wir nennen dies "Zeitentwicklung"). Dies kann man daran erkennen, dass die stationären Zustände eine Basis für Ihren Hilbert-Raum und so bilden$\psi(x,0)$kann in Bezug auf sie erweitert werden. Man kann dann durch Substitution prüfen (nach Einstecken der erweiterten Form von$\psi(x,0)$hinein$\psi(x,t)$), dass der TDSE erfüllt ist.

Jetzt habe ich das nicht explizit überprüft, aber für mich scheint dies die zeitentwickelte Wellenfunktion für den nach rechts verschobenen Grundzustand zu sein$a$(dies hat die richtigen Eigenschaften bei$a=0$Und$t=0$). Wir wenden nämlich einfach den Zeitentwicklungsoperator auf an$\psi(x,0) = \psi_0(x-a)$Wo$\psi_0(x)$ist die Grundzustandswellenfunktion. Um das wirklich zu verifizieren$\psi(x,t) = e^{-iHt}\psi(x,0)$mit der von Ihnen geschriebenen Wellenfunktion übereinstimmt, kann man wie folgt vorgehen:

Verwenden

Kurz gesagt, das Finden der allgemeinsten zeitabhängigen Lösung läuft darauf hinaus, den Propagator zu finden. Man kann das dann verwenden, um jede gewünschte stationäre Wellenfunktion zeitlich zu entwickeln.

Dies ist die Wellenfunktion eines kohärenten Zustands ; Es ist eine bekannte Lösung des harmonischen Quantenoszillators und hat eine große Anzahl netter Eigenschaften. Es gibt eine ganze Reihe unabhängiger Wege, um es abzuleiten, daher ist es ziemlich sinnlos zu versuchen, zu erraten, an welches Griffiths gedacht hat.