Kinetischer Energieoperator in der Quantenmechanik

Zunächst möchte ich deutlich darauf hinweisen, dass ich kein Physiker bin, sondern ein Nanoingenieur, der Quantenmechanik studiert, damit ich meine Arbeit in den Oberflächenwissenschaften besser verstehe, also setzen Sie bitte nicht mein Wissen voraus, weil es mir fehlt stringenten Hintergrund eines typischen Physikers.

Allerdings, wenn ich von Borns Interpretation ausgehe

(1) ∫ − ∞ + ∞ ψ ψ ∗ D X = 1
Ich verstehe den erwartungswertesten Wert < X > könnte definiert werden als
(2) ⟨ X ⟩ = ∫ − ∞ + ∞ ψ ∗ X ψ D X .

Von hier aus würde ich den Impulsoperator ableiten, der, wie ich es verstehe, nur aus der Mathematik (denken Sie daran, dass ich ein absoluter Analphabet in Physik bin) ein **massenskalierter* Wert der Änderungsrate des am meisten erwarteten Werts ist der Wellenfunktion oder die ich die Zeitentwicklung der Wellenfunktion nennen würde, die ist

(3) ⟨ P ⟩ = M ∂ ⟨ X ⟩ ∂ T .
Somit,

(4) ⟨ P ⟩ = ∫ − ∞ + ∞ X ( ψ ∗ ∂ ψ ∂ T + ψ ∂ ψ ∗ ∂ T ) D X .
Wenn ich mir jetzt den TDSE anschaue, mit der konjugierten Wellenfunktion multipliziere und komplexe Konjugierte nehme und zweimal doppelt integriere, lande ich bei
(5) ⟨ P ⟩ = ich ℏ 2 ∫ − ∞ + ∞ ( ψ ∂ ψ ∗ ∂ X − ψ ∗ ∂ ψ ∂ X ) D X .

Das stelle ich mir auch vor

(6) ∫ − ∞ + ∞ ψ ∂ ψ ∗ ∂ X D X = − ∫ − ∞ + ∞ ψ ∗ ∂ ψ ∂ X D X .
Somit,
(7) ⟨ P ⟩ = ∫ − ∞ + ∞ ψ ∗ ℏ ich ∂ ψ ∂ X D X .
Somit könnte der Impulsoperator geschrieben werden als
(8) P ^ = ℏ ich ∂ ∂ X .
Nun ist die Frage, wenn ich versuche, den kinetischen Energieoperator abzuleiten, ist die folgende Gleichung der richtige Weg
(9) ⟨ K E ⟩ = 1 2 M ⟨ P ⟩ ⟨ P ⟩
oder sollte ich eher anstreben
(10) K E ^ = 1 2 M P ^ P ^   ?
Der Bottom-Ansatz macht erstens überhaupt keinen Sinn, weder mathematisch noch physikalisch. Der Top-Ansatz macht mathematisch Sinn, aber ich sehe überhaupt keinen physikalischen Sinn darin. Ich meine, wir nennen die massenskalierte Änderungsrate des am meisten erwarteten Werts der Verteilung Impuls und nehmen dann das Quadrat davon und nennen seinen skalierten Wert kinetische Energie. Es scheint keinen Sinn zu machen, aber noch ärgerlicher ist, dass der Bottom-Ansatz direkt Ergebnisse liefert und für mich weder physikalisch noch mathematisch sinnvoll ist. Ich kann keine Punkte logisch verbinden. Freundlich helfen.

Antworten (1)

Für den kinetischen Energieoperator gibt es nichts zu "ableiten". Per Definition ist klassische kinetische Energie P 2 2 M , und so E ^ Verwandtschaft = P ^ 2 2 M quantitativ. Es ist nicht ganz klar, warum Sie denken, dass dies mathematisch keinen Sinn ergibt, aber es tut es: In Worten heißt es: „Wenden Sie den Impulsoperator zweimal an und dividieren Sie dann das Ergebnis durch 2 M ".

Beachten Sie, dass ⟨ P 2 ⟩ ≠ ⟨ P ⟩ 2 , der Unterschied ist genau das, was die Standardabweichung definiert ist und was üblicherweise als "Unsicherheit" bezeichnet wird. Δ P in den meisten Physiktexten.

"Wende den Impulsoperator zweimal an, dann dividiere das Ergebnis durch 2m" Ein bisschen Spitzfindigkeit, aber die Reihenfolge spielt keine Rolle - Sie können zuerst dividieren, nachdem Sie ein p angewendet haben , oder nach beiden.
@ACuriousMind: Der Grund, warum ich annehme, dass es keinen mathematischen Sinn ergibt, ist, dass ich zuerst, wie in der Frage gezeigt, den Wert von abgeleitet habe ⟨ P ⟩ aus ⟨ X ⟩ und fuhr dann fort zu sagen, dass der Betreiber P ^ = ℏ ich ∂ / ∂ X . Daher wäre ich zufrieden, wenn ich ableiten könnte ⟨ K E ⟩ aus ⟨ P ⟩ und schreiben/vereinfachen/extrahieren Sie dann den Wert von K E ^ davon. Gibt es eine Möglichkeit abzuleiten ⟨ K E ⟩ aus ⟨ P ⟩ ?
Kinetischer Energieoperator in der Quantenmechanik
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