Kann die Schrödinger-Gleichung für eine Observable einer anderen Größe definiert werden?

Sie können diese Gleichung lösen, wenn Sie möchten, aber die Lösung bedeutet nicht unbedingt etwas. Der Hamiltonoperator ist sogar in der klassischen Mechanik durch die Gleichung direkt mit der Zeitentwicklung verbunden

$$\frac{df}{dt} = \{H, f\}$$ wobei die rechte Seite die Poisson-Klammer ist. Selbst in der Lagrange-Mechanik taucht der Hamilton-Operator als Erhaltungsgröße der Zeittranslationssymmetrie auf. Und in der speziellen Relativitätstheorie muss der Hamiltonoperator mit der Zeit verknüpft sein, wenn der Impuls mit dem Raum verknüpft ist.

Der Punkt ist, dass die Verbindung zwischen Hamiltonianern und der Zeit wirklich tief ist, daher ist nicht klar, was Ihre alternative Schrödinger-Gleichung bedeuten würde. Wenn Sie wirklich eine Wellenfunktion hätten, die Ihre Gleichung erfüllt, dann$K$wäre einfach gleichbedeutend mit dem Hamiltonian, und es würde keinen Sinn machen, es anders zu nennen.

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Wenn wir uns jedoch nicht auf die Zeitentwicklung konzentrieren wollten, könnten wir stattdessen ersetzen$t$mit formalem Parameter$\alpha$und definieren

$$\frac{d}{d\alpha} \psi = - \frac{i}{\hbar} K \psi.$$ Diese Gleichung macht allgemein Sinn$K$, und ihre Lösung kann Ihnen etwas über die physikalische Bedeutung von verraten$K$. Zum Beispiel, wenn Sie gewählt haben$K$um der Schwung zu sein, würden Sie bekommen $$\psi(x, \alpha) = \psi(x - \alpha).$$ Das heißt, die durch den Impuls erzeugte Transformation ist nur eine räumliche Translation, wie Sie aus der klassischen Mechanik wissen. Wenn Sie zum Heisenberg-Bild wechseln und dasselbe tun, ist das Ergebnis direkt analog zum Generieren von Funktionen (hier$K$) entsprechen Einparameterfamilien kanonischer Transformationen in der klassischen Mechanik.