Die Hermitizität des Laplace-Operators (und anderer Operatoren)

Im Allgemeinen muss man die Integrale für aufschreiben$\langle\phi|\Delta\psi\rangle$Und$\langle\Delta\phi|\psi\rangle$und wandeln sie durch partielle Integration ineinander um.

Die Hermitizität hängt nicht von der verwendeten Basis (Matrixdarstellung) ab. Dies hängt jedoch von den auferlegten Randbedingungen ab, da sichergestellt werden muss, dass die partielle Integration keine nichthermiteschen Randterme erzeugt.

Mit den in der Quantenmechanik üblichen Randbedingungen (quadratische Integrierbarkeit in$R^n$), ist es ein selbstadjungierter Operator und insbesondere hermitesch.

Ja.

Hermitisch bedeutet selbstadjungiert in Bezug auf eine konjugiert-lineare Form. In diesem Fall ist das Formular$\langle\phi|\psi\rangle=\int\phi\psi^*$, wo das Integral zu Ende ist${\mathbb R}^3$. Sie wissen das, weil$p=\psi\psi^*$gibt die Wahrscheinlichkeit an, ein Teilchen bei zu finden$x$, So$\langle\psi|\psi\rangle=\int p=1$für ein einzelnes Teilchen. Das soll kein Beweis sein, sondern nur eine Möglichkeit, fast jede andere mögliche konjugiert-lineare Form auszuschließen, die Ihnen einfällt.

Selbstadjungiert bedeutet das$\langle\nabla^2\phi|\psi\rangle=\langle\phi|\nabla^2\psi\rangle$. In diesem Fall,

$$\int(\nabla^2\phi)\psi^* =\int\phi(\nabla^2\psi)^* =\left(\int(\nabla^2\psi)\phi^*\right)^*.$$ Also lass uns das tun. Mit großzügiger Integration von Teilen und Dingen, die im Unendlichen verschwinden, wenn sie es sollen, $$\begin{align} \int(\nabla^2\phi)\psi^* &=\sum\int\frac{d^2\phi}{d x_i^2}\psi^* =-\sum\int\frac{d\phi}{d x_i}\frac{d\psi^*}{d x_i}\\ &=-\sum\left(\int\frac{d\psi}{d x_i}\frac{d\phi^*}{d x_i}\right)^* =\left(\int(\nabla^2\psi)\phi^*\right)^*. \end{align}$$