Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung für einen einheitlichen Operator

Beim Lesen des Quantum Mechanics Book von Sakurai fand ich die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für den Unitary Operator.

ich ℏ ∂ ∂ T U ( T , T 0 ) = H U ( T , T 0 ) .

Die Lösung der obigen Gleichung für den zeitunabhängigen Hamilton-Operator ist damit gegeben

U ( T , T 0 ) = exp ⁡ [ − ich H ( T − T 0 ) ℏ ] .

Kann jemand erklären, wie es kommt? U ( T , T 0 ) ist ein Operator, keine Funktion.

Referenz - Moderne Quantenmechanik (Sakurai) - 2. Auflage - Kapitel 2 (Seite Nr. - 70)

Was meinst du, wie es kommt? Sie meinen, woher kommt diese Lösung? Setzen Sie es einfach in die Schrödinger-Gleichung ein (dh nehmen Sie ihre Ableitung in Bezug auf die Zeit und multiplizieren Sie sie mit ich ℏ , was gibt H U ) oder fragst du das aus physikalischer Sicht?

Antworten (2)

Der Betreiber U ( Δ T ) wirkt auf die anfängliche Wellenfunktion (sagen wir at T = 0 ), um die Wellenfunktion zu einem späteren Zeitpunkt anzugeben T . Wie Sie in der Frage gezeigt haben

U ( Δ T ) = e − ich H Δ T
Nehmen wir an, die anfängliche Wellenfunktion war ψ ( X , 0 ) dann die Wellenfunktion nach Δ T Zeit abgelaufen ist wird durch gegeben
ψ ( X , T ) = U ( T ) ψ ( X , 0 )
Oder
ψ ( X , T ) = e − ich H T ψ ( X , 0 )
Das Problem, das man hier hat, ist, dass der Operator im Exponenten steht. Die Lösung besteht darin, die Mc Lauren-Serie in Betracht zu ziehen. Um es einfacher zu machen, sagen wir das Δ T ist sehr klein. Somit
ψ ( X , T ) = ψ ( X , 0 ) − ich T H ψ ( X , 0 )
So wirkt der Zeitentwicklungsoperator auf Wellenfunktionen. Für immer genauere Beschreibungen können Begriffe höherer Ordnung aufgenommen werden.

Hoffe das hilft.

U ( T , T 0 ) ist immer noch ein Operator. Der Exponent ist als Taylorentwicklung zu verstehen.

Für einen unbeschränkten Operator existiert die Taylorentwicklung nicht.
Okay, wie heißt es stattdessen?
Die Exponentialfunktion eines selbstadjungierten Operators wird aufgrund von Domänenproblemen (Konvergenz) durch „Funktionskalkül“ definiert, nicht durch eine Reihenentwicklung.
Aber wenn wir die zeitabhängige Gleichung lösen müssen, ist der Streuoperator, der ein unitärer Operator ist, zum Beispiel gegeben durch
U = T exp ⁡ − ich ∫ H int
mit dem Zeitordnungsoperator T und die Wechselwirkung Hamiltonian H int . Und diese Exponentialfunktion steht symbolisch für
U = 1 − ich ∫ D T ' H int ( T ' ) + ( − ich ) 2 T ∫ D T ' ∫ D T ″ H int ( T ' ) H int ( T ″ ) + . . .
was ein Reihenausdruck ist.
Dieses „exp“ ist formal oder symbolisch. Die Dyson-Reihe ist genau dann direkt definierbar, wenn der Hamiltonoperator jederzeit beschränkt ist. Siehe Reed & Simon, Vol.II, S. 282, Th. X.69
In Ordnung, verstanden. Dann habe ich es in unserem Vortrag falsch verstanden. Danke schön.
Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung für einen einheitlichen Operator
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