Dies ist ein Skalarwert, der eine Projektion des Zustands darstellt$H|\psi \rangle$auf den Staat$|\phi \rangle$. Der Staat$H|\psi \rangle$ergibt sich aus der Aktion des Bedieners$H$auf den Staat$|\psi \rangle$. Wenn der Staat$|\psi \rangle$ist ein Eigenzustand des Operators$H$, kann der Ausdruck umgeschrieben werden als$E \langle\phi|\psi \rangle$. Wenn der Staat$|\phi \rangle$ist auch ein Eigenzustand des Operators$H$, wir haben$E \delta_{\phi,\psi}$, was bedeutet, dass wir Null erhalten, wenn die Zustände orthogonal sind, und einen Erwartungswert der Energie, wenn sie konjugiert sind.

Wenn beide Zustände keine Eigenzustände sind, können wir dies mit der Auflösung der Identität in Bezug auf die Hamilton-Eigenzustände näher erläutern:$1=\sum_i |i \rangle \langle i|$. Durch Multiplizieren der Identität von beiden Seiten des Hamilton-Operators lautet der resultierende Ausdruck:

$$\sum_{ij} \langle\phi|i \rangle \langle i|H |j \rangle \langle j|\psi \rangle=\sum_{ij} E_j \delta_{i,j} \langle\phi|i \rangle \langle j|\psi \rangle=\sum_{j} E_j \langle\phi|j \rangle \langle j|\psi \rangle$$

Somit haben wir eine Summe von Produkten der beiden Zustandsprojektionen auf alle Eigenzustände des Hamiltonoperators, multipliziert mit einer entsprechenden Energie.

Dies ist eine Ergänzung zu freudes richtiger Antwort :

---

Hamiltonian ist der infinitesimale Generator der Zeitübersetzung, definiert als

$$\mathrm{\hat{U}}(\mathrm dt)= 1- \frac{i}{\hbar} \mathrm{\hat{H}}(t)~\mathrm dt\;.$$

Zeitentwicklungsoperator:

Lassen Sie das System eingeschaltet sein$|\phi\rangle\;.$Jetzt warten wir mal ab .....

Bei welcher Wahrscheinlichkeitsamplitude befindet sich unser System?$|\chi\rangle\;?$

Es sollte nicht sein$\langle\chi|\phi\rangle$wie jetzt haben wir eine gewisse Zeitspanne abgewartet ; diese Verzögerung muss berücksichtigt werden.

Zeitentwicklungsoperator$\mathrm{\hat{U}}$kommt dann zur Rettung.

Angenommen, das System ist vorbereitet$|\phi\rangle$bei$t_1$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude, unser System im Zustand zu finden?$|\chi\rangle$zum Zeitpunkt$t_2\;?$

Die erforderliche Amplitude wird geschrieben als

$$\left\langle\chi\left|\mathrm{\hat{U}}(t_2,t_1)\right|\phi\right\rangle$$

Oder wenn es über Basiszustände erweitert wird, kann dies geschrieben werden als

$$\sum_{jk}\langle\chi |j\rangle\left\langle j\left|\mathrm{\hat{U}}(t_2,t_1)\right|k\right\rangle\langle k|\phi\rangle\;.$$

Der$\mathrm{\hat U}$Matrix:

Die Wahrscheinlichkeitsamplitude, unser System zu einem späteren Zeitpunkt in einem anderen Zustand zu finden, nachdem es in einem anderen Zustand vorbereitet wurde, kann geschrieben werden als

$$|\psi(t+\Delta t)\rangle = \mathrm{\hat{U}}(t+\Delta t, t)|\psi(t)\rangle$$

Beide Seiten multiplizieren mit$\langle j|$, den Grundzustand, erhalten wir

$$\langle j|\psi(t+\Delta t)\rangle = \left\langle j\left|\mathrm{\hat{U}}(t+\Delta t, t)\right|\psi(t)\right\rangle$$

Auflösung unseres Zustandsvektors$|\psi(t+\Delta t)$zu unseren betroffenen Basisstaaten bekommen wir

$$\langle j|\psi(t+\Delta t)\rangle =\sum_{k} \left\langle j\left|\mathrm{\hat{U}}(t+\Delta t, t)\right|k\right\rangle\langle k|\psi(t)\rangle\;.$$

$$\mathrm{U}_{jk}\equiv \left\langle j\left|\mathrm{\hat{U}}(t+\Delta t, t)\right|k\right\rangle$$ bildet eines der Elemente von$\rm{\hat{U}}$Matrix .

Dann können wir die Wahrscheinlichkeitsamplitude wie folgt umformen:

$$\langle j|\psi(t+\Delta t)\rangle =\sum_{k} \mathrm{U}_{jk} C_k(t)$$

Wo$C_{k}(t)$stellt die Wahrscheinlichkeitsamplitude dar, unser System im Grundzustand zu finden$|k\rangle$zum Zeitpunkt$t\;.$

Was bedeutet das?

Das heißt, die Amplitude findet das System bei einem bestimmten Grundzustand an$t+\Delta t$ist proportional zu allen anderen Amplituden$C_k$zum Zeitpunkt$t\;.$

Der Hamiltonian:

Wir können die Wahrscheinlichkeitsamplitude schreiben als:

$$C_j(t+\Delta t) =\sum_{j} \mathrm{U}_{jk} C_k(t)\;.$$

Als$\Delta t\to 0\,,$

$$\mathrm{ U}_{jk}\to \delta_{jk} \;.$$

Also können wir schreiben

$$\mathrm{U}_{jk}(t+\Delta t,t)= \delta_{jk}+ \left(\frac{-i}{\hbar}\right)\mathrm{H}_{jk}\,\Delta t$$ Wo$\mathrm{H}_{jk}$ist definiert als

$$\mathrm{ H}_{jk}= \lim_{\Delta t\to 0}\,\frac{\mathrm{U}(t+\Delta t)_{jk}- \mathrm{U}(t)_{jk}}{\Delta t}\;.$$

Damit schreiben wir unsere Amplitude um als:

$$C_j(t+\Delta t)= \sum_{k}\left[\delta_{jk}- \left(\frac{i}{\hbar}\right)\,\mathrm{H}_{jk}(t)~\mathrm dt\right]\, C_k(t)$$

Die Elemente$\mathrm{H}_{jk}$bilden die Hamilton-Matrix.$\mathrm H$s die Zeitvariation des Zustands des Systems bestimmen; Sie beinhalten die „ Physik der Situation “, die dazu führt, dass sich die Koeffizienten im Laufe der Zeit ändern.

Die physikalische Situation kann einem elektrischen Feld, einem variierenden magnetischen Feld – irgendetwas – entsprechen.$\rm H$s feststellen, was im Laufe der Zeit passieren wird.

tl;dr:

Um den Zustand über ein Zeitintervall zu übersetzen oder etwas über die Zeitentwicklung eines Systems zu erfahren, verwenden wir den Zeitentwicklungsoperator as

$$\mathrm{\hat U}(t_2,t_1)|\psi(t_1)\rangle= \exp\left[\frac{-i}{\hbar}\int_{t_1}^{t_2}\,\mathrm{\hat H}(t')\,\mathrm dt'\right] |\psi(t_1)\rangle\;.$$

Hier,$\rm{\hat H}$ erzeugt eine infinitesimale Zeitübersetzung.

---

Aber wie soll ich interpretieren$\langle \phi | H | \psi \rangle$?

Es stellt die Wahrscheinlichkeitsamplitude des Übergangs pro Zeiteinheit dar, bei der unser System gefunden wird$\phi$sofern das System vorbereitet wurde$\psi\;.$

---

Verweise:

$\bullet$ Vorlesungen über Physik von Feynman, Leighton, Sands.

$\bullet$ Ein moderner Ansatz zur Quantenmechanik von John S. Townsend.