Heisenberg- und Schrödinger-Operatoren in Beziehung setzen

Im Heisenberg-Bild entwickeln sich die Operatoren also mit der Zeit, aber die Wellenfunktionen bleiben zeitlich konstant, und im Schrödinger-Bild entwickelt sich die Wellenfunktion mit der Zeit. Diese Aussage macht für mich so Sinn

$\langle{\psi_t}|O_s|\psi_t\rangle=\langle{\psi}|O_H(t)|\psi\rangle\tag{1}$

Wo$O_s$Und$O_H(t)$sind Beobachtungsobjekte.

$\hat{H}^H=k\hat{S}_z^H=k\hat{S}_z \tag{2}$

(2) wird hier gefunden, wenn ein Spin-1/2-Teilchen in einem Magnetfeld ruht$\overrightarrow{B}=B\overrightarrow{e}_z$das Teilchen hat einen Hamiltonain

$\hat{H}=k\hat{S}_z\tag{3}$

Wie ist (2) wahr? Gibt es ein grundlegendes Verständnis, das ich übersehen habe, die einzige Idee, die ich hatte, war das$\hat{S}_z=m_z\hbar$was nicht so zeitabhängig ist$\hat{S}_z^H=\hat{S}_z$aber abgesehen davon kann ich nicht erklären, warum die Beziehung in (2) wahr ist und wie man sie herleitet.

Ok, also habe ich die Antwort von @ZeroTheHero verwendet

$\hat{H}^H=e^{\frac{iHt}{\hbar}}\hat{H}^s e^{-\frac{iHt}{\hbar}}=e^{\frac{iHt}{\hbar}}(k\hat{S}_z)e^{-\frac{iHt}{\hbar}}=k\hat{S}_z\tag{4}$

Wie würde ich dann finden$\hat{S}_x^H$Und$\hat{S}_x^H$?