Beweis des Satzes von Ehrenfest

Question

Beweis des Satzes von Ehrenfest

Michael b

Ich verwende diese Ressource zusammen mit Griffiths Einführung in die Quantenmechanik, um zu versuchen, das Ehrenfest-Theorem zu reproduzieren .

Aus Gleichung $(176)$ im obigen link haben wir:

\frac{D ⟨ P ⟩}{D T} = \int_{- \infty}^{\infty} [\frac{- ℏ^{2}}{2 M} \frac{\partial}{\partial X} (\frac{\partial Ψ^{*}}{\partial X} \frac{\partial Ψ}{\partial X}) + v (X) \frac{\partial | Ψ^{2} |}{\partial X}] D X

$\frac{d\langle p\rangle}{dt}=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial \Psi^*}{\partial x} \frac{\partial \Psi}{\partial x} \right) +V(x)\frac{\partial|\Psi^2|}{\partial x} \right] dx$

Ich kann ohne Probleme hierher gelangen, aber als nächstes müssen wir Folgendes zeigen:

\int_{- \infty}^{\infty} [\frac{- ℏ^{2}}{2 M} \frac{\partial}{\partial X} (\frac{\partial Ψ^{*}}{\partial X} \frac{\partial Ψ}{\partial X})] D X = 0

$\int_{-\infty}^{\infty}\left[\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial \Psi^*}{\partial x} \frac{\partial \Psi}{\partial x} \right) \right] dx = 0$

Was nur zutreffen würde, wenn:

{\frac{\partial Ψ}{\partial X} |}_{X = - \infty}^{X = \infty} = {\frac{\partial Ψ^{*}}{\partial X} |}_{X = - \infty}^{X = \infty} = 0

$\left. \frac{\partial \Psi}{\partial x} \right|^{x=\infty}_{x=-\infty} = \left. \frac{\partial \Psi^*}{\partial x} \right|^{x=\infty}_{x=-\infty} = 0$

Gibt es eine Möglichkeit, dies allgemein zu wissen? Es ist offensichtlich wahr in bestimmten Fällen der Wellenfunktion (zB $\Psi(x)=\exp[-x^2]$ ). Im Allgemeinen dachte ich, die einzige Bedingung für die Normalisierung wäre:

{Ψ |}_{X = - \infty}^{X = \infty} = {Ψ^{*} |}_{X = - \infty}^{X = \infty} = 0

$\left. \Psi \right|^{x=\infty}_{x=-\infty} = \left. \Psi^* \right|^{x=\infty}_{x=-\infty} = 0$

Antworten (2)

Beweis des Satzes von Ehrenfest

ahostinthezahlen · Answer 1

ahostinthezahlen

Lustige Tatsache; das stimmt im allgemeinen nicht! Diese Antwort listet beispielsweise ein Beispiel für eine Funktion auf, die vollständig quadratintegrierbar und daher als Wellenfunktion geeignet ist, deren Ableitungen jedoch keine genau definierte Grenze im Unendlichen haben.

Der eigentliche Grund, warum Sie mit dieser Annäherung davonkommen, liegt darin, dass wir in der Quantenmechanik implizit, vielleicht mit nicht genügend Nachdruck, annehmen, dass Wellenfunktionen "kompakte Unterstützung" haben, dh die Funktionen und ihre Ableitungen sind nur auf einem geschlossenen, begrenzte Teilmenge des Raumes.

Einige Spielzeugbeispiele für Wellenfunktionen vermeiden diese Anforderung, wie z. B. das quantenfreie Teilchen mit exaktem Impuls , aber dies ist keine echte Wellenfunktion, da sie nicht quadratintegrierbar ist.

Andreas

Ich denke, das Beispiel, auf das Sie verlinken, ist eine glatte Funktion, deren Ableitung nicht asymptotisch verschwindet. (Ich habe eine Antwort gelöscht, die ich geschrieben habe, dass die behauptete Glätte ausreicht, um zu garantieren, dass die Ableitung auf Null geht. Ich weiß nicht, ob Sie deshalb die Einschränkung bezüglich der Glätte hinzugefügt haben oder nicht, aber ich denke, ich habe mich aufgrund dieses Beispiels geirrt.) . Es scheint, dass das Verschwinden der Ableitungen im Unendlichen eine zusätzliche Annahme ist, die benötigt wird.

Michael b

Danke für den Link. Ich hatte herumgesucht, aber nichts gefunden - aber wie üblich war genau diese Frage schon einmal auf Phys SE untersucht worden.

Nanomann

Ich stimme @Andrew zu - das Beispiel unterstützt diese Antwort nicht, da die Wellenfunktion dort für alle Bestellungen differenzierbar ist .

Michael b

Es ist differenzierbar (also glatt), aber die Ableitung verschwindet nicht im Unendlichen. Ich denke, die wirkliche Antwort ist, dass wir uns nicht darum kümmern, dass die Physik in einer signifikanten Entfernung von der Messung passiert. Es sei denn, es ist ein Gitter ... Aber das ist mir im Moment ein bisschen schleierhaft.

ahostinthezahlen

@nanoman Ich verstehe Ihren Standpunkt und werde die entsprechende Bearbeitung vornehmen. Ich nehme an, die richtige Einschränkung ist die kompakte Unterstützung aller Ableitungen der Wellenfunktion, obwohl ich mich frage, ob sie allgemeiner gemacht werden kann.

Janik

Eine gängige Technik in der Analyse besteht darin, zunächst eine bestimmte Identität für "nette" Funktionen (wie z

C_{c} (R^{n})

$C_c(\mathbb{R}^n)$ , dh glatte kompakte Stützfunktionen) und dann die Identität durch ein Approximationsargument auf einen größeren Raum zu erweitern. Hier ist es unvernünftig zu erwarten, dass der Satz von Ehrenfest für alle gilt

L^{2} (R^{n})

$L^2(\mathbb{R}^n)$ -Funktionen, weil der Impulsoperator nicht auf allen quadratintegrierbaren Funktionen definiert ist. Aber das Ergebnis sollte auf den Sobolev-Raum erweiterbar sein

H^{1} (R^{n})

$H^1(\mathbb{R}^n)$ Dies ist der Bereich, der den Impulsoperator selbstadjungiert macht.

Nanomann · Answer 2

Die Antwort einer anderen Frage stellt fest, dass der Erwartungswert der kinetischen Energie proportional zu ist

\int_{- \infty}^{\infty} D X ψ^{*} (- \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}}) = \int_{- \infty}^{\infty} D X {| \frac{\partial ψ}{\partial X} |}^{2} - {ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial X} |}_{- \infty}^{\infty} .

$\int_{-\infty}^\infty dx\, \psi^* \left(-\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\right) = \int_{-\infty}^\infty dx\, \left|\frac{\partial\psi}{\partial x}\right|^2 - \left.\psi^* \frac{\partial\psi}{\partial x}\right|_{-\infty}^\infty.$ Bei der Ehrenfest-Ableitung waren Sie bereits bereit, Randterme zu setzen, die einen Faktor von enthalten

ψ

$\psi$ oder

ψ^{*}

$\psi^*$ (ohne Derivate) auf Null. Das obige reduziert sich also auf

\int_{- \infty}^{\infty} d x (\partial ψ^{*} / \partial x) (\partial ψ / \partial x)

$\int_{-\infty}^\infty dx\, (\partial\psi^*/\partial x)(\partial\psi/\partial x)$ . Nun sollte aus physikalischen Gründen dieser Erwartungswert der kinetischen Energie endlich sein . Damit nähert sich der Integrand dem Wert Null an

x \to \pm \infty

$x \to \pm\infty$ , was ausreicht, um das Verschwinden des Grenzterms zu zeigen, nach dem Sie gefragt haben.

Wenn der Integrand im Unendlichen nicht Null wäre, würde dies bedeuten, dass die Erwartung der kinetischen Energie nicht endlich wäre. Ist das korrekt? Dies ist eigentlich eine wirklich nette Möglichkeit, diesen Schritt in Ehrenfests Theorem einzufügen. Es scheint auch ziemlich allgemein zu sein. Ich bin also gespannt, welche physikalischen Systeme zu einigen der oben gezeigten Gegenbeispiele passen würden. Vielleicht sind sie nur mathematische Erfindungen

Beweis des Satzes von Ehrenfest

Michael b

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Andreas

Michael b

Nanomann

Michael b

ahostinthezahlen

Janik

Nanomann

Michael b

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