Was bedeuten Positionen in der Schrödinger-Gleichung (Erinnerung: Das Teilchen hat nie eine bestimmte Position)?

Position in der Schrödinger-Gleichung bedeutet Position.

Denken Sie daran, dass die Gleichung für die Wellenfunktion gilt und Sie nach dem Wert der Wellenfunktion an verschiedenen Punkten im Raum auflösen. Das ist wirklich genau wie die Position, die in einem Ausdruck für die Elektrik des Magnetfelds erscheint, und sollte überhaupt nicht mysteriös sein.

Nun, die Beziehung zwischen der vermeintlichen „Position eines Teilchens“ und der Wellenfunktion ist – in der Tat – eine subtilere Angelegenheit, aber sie hat keinen Einfluss auf die Bedeutung der Position in der Gleichung, die sich auf Wellenfunktionen und nicht auf Teilchen bezieht.

Positionen können als Eigenzustände des Teilchens betrachtet werden. Betrachten Sie ein System (ein Teilchen), das mögliche Eigenzustände hat$S=|1\rangle, |2\rangle,...$. Nehmen wir nun an, es befindet sich in einem (Nicht-Eigenzustand) Zustand$|s\rangle$. Wenn wir den Zustand als Funktion der Eigenzustände schreiben wollen, schreiben wir die Wellenfunktion $\Psi(i)=\langle i|s\rangle$. Die Standard-Wellenfunktion, also der Zustand als Funktion des Ortes, ist dasselbe: Wir schreiben$\Psi(x)=\langle x|s\rangle$. Es ist nur so, dass die Ortseigenzustände eine dichte Unendlichkeit bilden, anstatt wie in der üblichen QM zählbar oder sogar endlich zu sein.

Es ist wichtig zu beachten, dass sich aufgrund der Unschärferelation kein Teilchen jemals in seinem Positionseigenzustand befinden wird, sodass dies theoretische Zustände sind. Wir zerlegen nur den Staat$|s\rangle$in abstrakte "Positionszustände", indem man die Projektion des Staates auf diese Zustände nimmt,$\langle x|s\rangle$. Die Positionen in der Schrödinger-Gleichung sind also Indizes dieser abstrakten Zustände.

Ich denke, ich wiederhole / formuliere frühere Antworten, aber nur weil das Partikel möglicherweise keine genau definierte Position hat, heißt das nicht, dass die Position keine Sache ist.

Die Wellenfunktion hat an jedem Punkt im Raum einen gewissen Wert, den wir dann mit der Wahrscheinlichkeit in Beziehung setzen können, das Teilchen an dieser (wohl definierten) Position zu finden

Das Teilchen hat keine Position, aber ein Ein-Teilchen-System hat einen Zustandsvektor der Form$\int dx\psi(x)|x\rangle$, Wo$|x\rangle$verdankt sein Label der eigenenquation$\hat{x}|x\rangle=x|x\rangle$(der Betreiber$\hat{x}$ist nicht entartet). Alle$x$tut in$\psi(x)$zeigt, wie der Integrand variiert. Die Funktion$\psi$, erhältlich durch Lösen der Schrödinger-Gleichung, liefert sowohl den Integranden als auch die Wahrscheinlichkeitsdichte$|\psi|^2$für eine Messung von$x$.

Wenn Sie die Schrödinger-Gleichung aus der klassischen Wellengleichung nehmen, ergibt sich der Impulsoperator aus der Raumableitung und der Energieoperator aus der Zeitableitung.

Sie sehen den Positionsoperator im Hamilton-Operator genau dann, wenn Sie ein Potenzial haben. Wenn Sie jedoch eine Positionsform (Schrödinger-Wellengleichung) verwenden, ist der Positionsoperator eine Multiplikation der Wellenfunktion mit einer reellen Zahl.

Der Positionsoperator wird auch als Impulsverschiebungsoperator (als Exponential verwendet) verwendet, genau wie der Impulsoperator der Positionsverschiebungsoperator für Galileische Boosts ist.

Achtung, verwechseln Sie das Ungewiss-Prinzip nicht mit etwas, das mit der Wellenfunktion verwandt ist: Das ist es nicht! Die Wellenfunktion

Ein Schrödinger-Teilchen hat möglicherweise keine genaue Position, aber nach der Bornschen Regel die Wahrscheinlichkeit, es an einer Position zu finden$\vec r$Ist$|\psi(\vec r) |^2$.