Zusammenbruch der Wellenfunktion

Jede Observable wird durch einen selbstadjungierten Operator beschrieben$A : D(A) \to {\cal H}$, Wo$D(A)$ist ein dichter Unterraum von$\cal H$und stimmen mit überein$\cal H$wenn und nur wenn der Satz$\sigma(A)\subset \mathbb R$(Das Spektrum der$A$) von Werten, die$A$erreichen kann, ist begrenzt.

Das sagt der Spektralsatz$A$hat ein zugehöriges Projektionswertmaß (PVM). Das ist eine Karte, die jede (Borel)-Teilmenge zuordnet$E\subset \sigma(A)$, zum Beispiel$E= [a,b]$oder ein einzelner Punkt$E= \{\lambda\}$, mit einem orthogonalen Projektor$P_E : \cal H \to \cal H$.

Es stellt sich heraus, dass die "formalen Gegenvektoren", wie$\delta$Funktionen, sind immer dem stetigen Teil von zugeordnet$\sigma(A)$, während die eigentlichen Eigenvektoren$\psi_\lambda$sind den Elementen zugeordnet$\lambda$des Punktspektrums Teil von$A$, sie sind die eigentlichen Eigenwerte $\lambda$von$A$.

Apropos Ergebnisse$E$des zum kontinuierlichen Spektrum gehörigen Messverfahrens ist das, was man eigentlich misst, ein Intervall $E= [a,b]$.

In dieser Situation besagt das Kollapspostulat , bekannt als von Neumann-Luders Postulat, dass, wenn ein reiner Zustand durch den normalisierten Vektor repräsentiert wird$\psi$vor der Messung von$A$und das Ergebnis der Messung ist$E$, ist der reine Zustand nach der Messung

$$\psi_E = \frac{P_E \psi}{||P_E\psi||}\:.\tag{1}$$ Die Wahrscheinlichkeit zu erhalten $E$im Staat $\psi$wenn man misst $A$ist insbesondere
$$||P_E\psi||^2 \tag{2}$$

Bemerkungen .

(1) Dieses Postulat betrifft zerstörungsfreie idealisierte Messverfahren . In der experimentellen Praxis mit realistischen Instrumenten wird der Zustand nach der Messung durch eine Quantenoperation beschrieben , die ein anspruchsvolleres mathematisches Werkzeug ist, das den Begriff von PVM erweitert.

(2) von Neumann-Luders Postulat schließt den Fall einer Messung eines diskreten Wertes ein$\lambda$die zum Punktspektrum gehören, also ein echter Eigenwert. In Abwesenheit von Entartung,

$$P_{\{\lambda\}} = |\psi_\lambda \rangle \langle \psi_\lambda |\:.$$ und unter Anwendung von (1) und (2) erhalten Sie die elementaren Standardergebnisse. Wenn der Eigenraum von $\lambda$Dimension hat $d \leq +\infty$und somit gibt es eine Hilbert-Basis von Eigenvektoren $\{\psi_{\lambda k}\}$, allgemeiner, $$P_{\{\lambda\}} = \sum_{k=1}^d|\psi_{\lambda k} \rangle \langle \psi_{\lambda k} |\:.$$

(3) von Neumann-Luders Postulat lässt sich trivial auf gemischte Zustände erweitern. In diesem Zusammenhang hat es eine natürliche Bedeutung in Bezug auf die bedingte Wahrscheinlichkeit über das nicht Boolesche Quantengitter von Elementarereignissen (siehe meine Antwort hier ).

Hermitesche Operatoren, die physikalischen Observablen entsprechen, wirken auf den Hilbert-Raum physikalisch gültiger Zustände. Aus der Definition eines Eigenvektors geht klar hervor, dass dies für jeden Vektorraum gilt$\mathcal{H}$und lineare Karte$f: \mathcal{H} \to \mathcal{H}$, müssen die Eigenvektoren in liegen$\mathcal{H}$. Daher sind die Eigenvektoren für alle physikalischen Observablen physikalisch gültige Zustände, und Ihr Problem kann nicht auftreten.

Zum Beispiel, da Position Eigenkets$| x \rangle$und Impuls-Eigenkets$| p \rangle$liegen nicht in der$L^2(\mathbb{R})$Hilbert-Raum (obwohl sie in einem allgemeineren "manipulierten Hilbert-Raum" liegen), sind die Positions- und Impulsoperatoren technisch gesehen keine physikalischen Observablen - nur Operatoren, die im Positions- oder Impulsraum leicht verschmiert sind, sind es. Komisch aber wahr. Sie sind jedoch immer noch äußerst nützliche mathematische Idealisierungen. Physikalisch bedeutet dies nur, dass keine wirkliche Messung jemals unendlich genau sein kann.

In der Praxis ist dies fast nie ein Problem, da alle üblichen Formeln der Quantenmechanik „im Sinne der Verteilung“ wahr sind – sie sind wahr, wenn Sie beide Seiten mit einer glatten „Hüllen“-Funktion multiplizieren und dann integrieren. Oder Sie können Ihren Hilbert-Raum oft in eine große, aber endliche Menge von Punkten diskretisieren, in diesem Fall ist alles gut erzogen (das wird fast immer in der Computerphysik gemacht).

Ich verstehe die Frage nicht ganz, aber ich vermute, es bedeutet, wie die Wellenfunktion zusammenbricht, wenn das Teilchen nicht beobachtet wird.

Ich bin mir nicht sicher, ob wir genau wissen, wie/warum die Wellenfunktion bei der Beobachtung zusammenbricht. Ich werde es versuchen, vielleicht finden Sie die Antwort irgendwo darin.

Nehmen wir ein Beispiel für ein Doppelspaltexperiment, bei dem die Beobachtung der Elektronen/Photonen dazu führt, dass sie die Wellennatur aufgeben und sich wie Teilchen verhalten. dh das Interferenzmuster verschwindet.

Warum bewirkt die Messung nun einen Wechsel von der Wellennatur zum Teilchenverhalten? Ich werde versuchen, es mit einem bestimmten Beispielszenario zu erklären. Dieses Beispiel lässt sich mit notwendigen Anpassungen auf andere Szenarien erweitern

Kollaps einer Welle in ein beobachtetes Teilchen -

Angenommen, die Entität, die sich durch den Doppelspalt bewegt, ist ein Elektron (in Wellenform). Lassen Sie uns es beobachten, indem wir einen Laser darauf richten. Wenn wir das Elektron mit dem Laser beobachten würden, dann müsste der Laser am Elektron reflektiert werden. Rechts? Aber um den Laser zu reflektieren, muss sich das Elektron in ein Teilchen verwandeln. Warum? Denn eine Welle kann nicht von einer Welle reflektiert werden. Eine Welle (Laser) kann nur von einem Teilchen reflektiert werden. Um den Laser zu reflektieren, muss sich das Elektron daher in ein Teilchen verwandeln; Andernfalls ist die Beobachtung mit einem Laser einfach nicht möglich. Bei einer Messung per Laser muss sich das Elektron also wie ein Teilchen verhalten, nicht wie eine Welle. Dies ist der Kollaps der Welle in ein Teilchen, das beobachtet wurde.

Zusammenbruch einer Welle in ein unbeobachtetes Teilchen -

Angenommen, Sie strahlen mit dem Laser auf einen Schlitz und das Elektron passiert den anderen Schlitz. Auch in diesem Fall passierte die Elektronenwelle vor der Messung beide Schlitze. Indem wir den Laser auf einen Teil der Elektronenwelle richten, zwingen wir die Elektronenwelle, sich in ein Teilchen zu verwandeln, aber aufgrund der Wellendichteverteilung wird das Teilchen durch den anderen Schlitz materialisiert und reflektiert den Laser nicht. Auch in diesem Fall bewirkt der Laser also, dass das Elektron zu einem Teilchen wird, ohne daran reflektiert zu werden. Dies ist ein Zusammenbruch der Welle in ein Teilchen, das NICHT beobachtet wurde. Dasselbe Konzept kann auf die Messung über andere Arten von Detektoren angewendet werden.

Warum wird der Zusammenbruch einer Welle obligatorisch?

Warum wird der Laser überhaupt vom Elektron reflektiert? Der eigentliche Grund dafür kann die Tatsache sein, dass die spezifische Laserfrequenz, die das Elektron erfasst, nicht mit der Elektronenwelle am selben Ort der Raumzeit koexistieren kann. Wenn sie sich also treffen, muss man zusammenbrechen. Da der Laser eine Grundwelle ist, ist es die Elektronenwelle (weniger Grundwelle), die nachgibt und zusammenbricht. Wenn es zusammenfällt, wird es zu einem Partikel und kann den Laser reflektieren, je nachdem, wo das Partikel materialisiert ist. Wenn wir also versuchen, die Elektronen in einem der Schlitze zu beobachten, verschwindet das Interferenzmuster, unabhängig davon, ob das Elektron gesehen wurde oder nicht. Dies ist eine beispielhafte Beschreibung des Wellenkollaps im klassischen Sinne.

Quantenradierer – Sie müssen nicht in der Zeit zurückgehen

Hinter den Schlitzen interferieren die Teilwellen, die durch jeden Schlitz gegangen sind, miteinander, obwohl die beiden Teile verbunden bleiben. Die Verbindung ist jetzt nicht mehr so ​​glatt wie vor den Schlitzen, und daher bewirkt die nicht glatte Verbindung, dass sich die gesamte Welle so verhält, als ob es zwei verschiedene Wellen gäbe, und so verhält sie sich so, als ob es eine Interferenz gäbe.

Wenn der Laser an den Schlitzen vorbeistrahlt, kollabiert die Wellennatur wie in den vorherigen Abschnitten beschrieben und das Elektron verwandelt sich in Teilchen und die Interferenz ist wieder verschwunden, sodass das Muster verschwindet, selbst wenn wir den Laser an den Schlitzen vorbei strahlen. Daher gibt es keine Notwendigkeit, in der Zeit zurückzugehen, und es gibt keine Löschung von irgendetwas. Es ist nur ein Kollaps, der hinter den Schlitzen passiert, und das Partikel materialisiert sich, als ob es durch einen der Schlitze gegangen wäre.