Warum ist die Grundzustandsenergie eines Teilchens in einer Box nicht Null?

Ich verstehe, dass wir nach Werten ungleich Null der Wellenfunktion lösen wollen. Ich dachte immer, das wäre, um die offensichtliche Antwort auf die Schrödinger-Gleichung zu vermeiden. Aber vom physikalischen Standpunkt aus, wenn wir ein Massenteilchen haben M , ist es wirklich unmöglich, dass es eine Energie von Null hat? Sollte aus mathematischer Sicht nicht die Grundzustandsenergie jedes Systems Null sein? Wenn ja, was bedeutet das? Nichts. Nichtig als Grundzustand?

Aber gibt es nicht einen energielosen Grundzustand für das Teilchen-in-der-Box, wenn man es nimmt N = 0 In E N = N 2 ℏ 2 π 2 2 M A 2 ?
Meinten Sie den harmonischen Quantenoszillator?
@probably_someone genau das war meine Frage. Ein Lehrbuch, das ich gelesen habe, sagt, dass der Grundzustand bei n = 1 ist. Ich verstehe nicht, ob das Vermeiden von Null willkürlich oder theoretisch/physikalisch sinnvoll ist.
@probably_someone n = 0 ist in diesem Fall keine legitime Wahl für die Quantenzahl. Wenn Sie dies beispielsweise in Ihre Wellenfunktion für das Teilchen in einer Box einfügen, erhalten Sie Unsinn
@R.Rankin Hängt davon ab, was Sie unter "Unsinn" verstehen. Sie erhalten eine Wellenfunktion, die überall identisch Null ist, was bedeutet, dass nichts in der Box ist.
@probably_someone fair genug, aber das ist kaum ein Energieniveau für das Teilchen. Ich denke, die Frage des OP wird im Kontext von QFT, zweiter Quantisierung und Betrachtung aller Teilchen als Operatoren für den Vakuumzustand (der selbst einen Erwartungswert von 0 für Energie hat) besser verstanden, nicht im nichtrelativistischen Jargon.
Eine andere Möglichkeit, das Problem zu formulieren, ist, dass wir einen Grundzustand mit zulassen N = 0 , wäre es nicht normierbar, da die Wellenfunktion identisch Null ist. Wenn wir es erlaubt hätten N = 0 , und angeblich ein System in diesem (stationären) Grundzustand vorbereiten, den wir haben würden ∫ ψ ψ ∗ = 0 , anstatt ∫ ψ ψ ∗ = 1 wie von einem Quantenzustand gefordert.

Antworten (3)

In den meisten Lehrbüchern zur (nicht-relativistischen) Quantenmechanik betrachten wir die Lösung für nicht N = 0 weil es uns eine triviale Lösung gibt (und wir interpretieren es so, dass sich kein Partikel in der Box / Vertiefung befindet).

Wenn es jedoch einen Grundzustand mit Nullenergie für ein Quadrattopfpotential gäbe, würde dies implizieren, dass (da das Teilchen Nullenergie hat) es innerhalb des Quadrattopfs ruht, und dies würde eindeutig die Heisenbergsche Unschärferelation verletzen!

Indem ein Teilchen auf einen sehr kleinen Bereich im Raum beschränkt wird, erhält es einen kleinen, aber endlichen Impuls. Also, wenn das Partikel darauf beschränkt ist, sich in einem Bereich der Breite zu bewegen Δ X ∼ A (dh die gesamte Länge des Bohrlochs) können wir die minimale Ungewissheit des Impulses berechnen (unter Verwendung der Unschärferelation) und es kommt heraus Δ P ∼ ℏ / A . Und dies wiederum gibt uns die minimale kinetische Energie der Ordnung ℏ 2 / ( 2 M A 2 ) . Dies stimmt (qualitativ) mit dem exakten Wert der Grundzustandsenergie überein.

Physikalisch gesehen ist also die Existenz einer Nullpunktsenergie ein notwendiges Merkmal eines quantenmechanischen Systems. Es zeigt an, dass das Teilchen aufgrund der Lokalisierung eine „minimale Bewegung“ aufweisen sollte. Klassischerweise entspricht die niedrigstmögliche Energie des Systems dem Minimalwert der potentiellen Energie (wobei die kinetische Energie Null ist). Aber in der Quantenmechanik entspricht der niedrigste Energiezustand dem Minimalwert der Summe aus potentieller und kinetischer Energie, und dies führt zu einem endlichen Grundzustand oder einer Nullpunktsenergie.

Ich verstehe deine Argumentation. Sollte dies nicht schon bei der Formulierung der Schrödinger-Gleichung mathematisch angegangen werden? Ist es in Ordnung, eine zusätzliche Aussage zu machen, die besagt, dass wir eine mathematische Lösung vermeiden sollten, um sie mit der Unschärferelation konsistent zu halten?
Nun, Heisenbergs Unschärferelation folgt aus den Postulaten der Quantenmechanik und die Schrödinger-Gleichung oder die Zeitentwicklung des Systems ist selbst ein weiteres Postulat. Also, soweit ich es verstehe, stimmt hier alles mit den Postulaten der Quantenmechanik überein, so wie es sein sollte. Wir fügen nicht willkürlich "zusätzliche Aussagen" hinzu, falls Sie danach fragen.

Der Nullpunkt der Energie ist völlig willkürlich, ebenso der Nullpunkt der Zeit oder des Raumes.

Angenommen, die Grundzustandsenergie von H Ist A , Dann H − A ICH , Wo ICH ist der Identitätsoperator, hat die Grundzustandsenergie Null und die gleichen Eigenvektoren von H . Außerdem erzeugt es die gleiche Zeitentwicklung (abgesehen von einem nichtphysikalischen Phasenfaktor). Daher ist es vom physikalischen Standpunkt aus nicht vom Original zu unterscheiden.

Was Sie vorschlagen, läuft im Wesentlichen darauf hinaus, den Hamiltonian zu stören, richtig? Grundsätzlich verschwinden Störungen der Ordnung größer als eins für eine konstante Störung im Allgemeinen. Wir können auch die Wellenfunktion berechnen. Aber gilt das immer? Wir werden in Schwierigkeiten geraten, wenn das (ungestörte) Energiespektrum entartet ist (z. B. beim Auflösen nach einer 3D-Box).
Das Hinzufügen einer Konstante ist eine sehr triviale Störung. Und es tut nichts, außer das Spektrum um einen festen numerischen Betrag zu verschieben.
Wir können einen Hamilton-Operator um jede Konstante verschieben, aber das Problem hier ist, weil Sie einen wählen würden ℏ -abhängige Konstante, würden Sie den klassischen Hamiltonoperator, der auf der Annahme basiert, nicht quantisieren ℏ = 0 . Es muss also tatsächlich eine physikalische Interpretation der Nullpunktsenergie gemacht werden, die dieses „Just-Shift-the-Potential“-Argument übersieht. noir1993 hat die Interpretation der Box geliefert; für den harmonischen Oszillator ist es das [ A , A † ] ∝ ℏ Weil [ X , P ] ∝ ℏ .
Aber immer wenn wir es mit Störungen zu tun haben, ist die Kopplungskonstante (hier A ) sollte klein sein (sonst können wir es nicht in eine Potenzreihe entwickeln). Für ein Elektron ist der Grundzustand ungefähr 30 e v was nicht vernachlässigbar ist und ich bezweifle, dass die nicht entartete Störungstheorie für eine so (quantenmechanisch) große Störung gelten würde.
@ noir1993 Wenn wir das neue Hamilton-Spektrum nicht analytisch ableiten können, benötigen wir kleine Störungen, um Taylor-Reihen zu verwenden, aber in diesem Fall ist das Spektrum trivial zu erhalten.
@JG Dass ein Hamiltonian die Quantisierung eines klassischen Symbols ist, ist eine Frage der Bequemlichkeit, keine physikalische Anforderung. Die physikalische Anforderung ist, dass Sie im Limit das richtige klassische Verhalten erhalten. Und das gilt immer noch, wenn der Hamilton-Operator um verschoben wird ℏ -abhängige Nullpunktsenergie. Außerdem sind meines Wissens nur Energieunterschiede experimentell beobachtbar (zB Messung der Frequenz der emittierten oder absorbierten Strahlung); daher ist die Grundzustandsenergie nicht messbar.
Schließlich ist auch mathematisch leicht einzusehen, dass eine Verschiebung auf einen beliebigen (endlichen) Wert nichts Relevantes ändert. Physikalisch kommt es in diesem Zusammenhang darauf an, dass der Hamiltonoperator nach unten begrenzt ist (dh das System kann nicht unbegrenzt Energie abgeben).
Diese Antwort ist etwas abwegig: Während Sie die Gesamtenergie um einen beliebigen Betrag verschieben können, können Sie die mittlere kinetische Energie ungleich Null im Grundzustand nicht vermeiden.

Ich teile meine Meinung   :       Wie wir wissen, treten quantenmechanische diskrete Energiezustände nur auf, wenn wir ein Problem mit gebundenen Zuständen betrachten. Im Allgemeinen wird gesagt, dass die Grundzustandsenergie quantenmechanisch niemals Null sein kann. Stellen Sie sich nun vor, Sie hätten ein Problem mit gebundenen Zuständen. Das heißt, das Teilchen ist in einem Bereich begrenzt. Wenn wir dann einen Null-Energie-Zustand bekommen (bedeutet, Energie ist Null: as N = 0   ich N   E N = N 2 π 2 ℏ 2 2 M A 2   Partikel in der Box), dann hat das Partikel in diesem Zustand keine Energie. Bedeutet, dass es an einer bestimmten Position ruht. Dann können Sie seine Position perfekt vorhersagen, indem Sie im Ruhezustand messen, und Sie können auch den Impuls angeben = 0 wie es in Ruhe ist. Aber die Heisenbergsche Unschärferelation sagt uns das ganz klar   Δ X . Δ P ≥ ℏ 2   . Aber dann wird dieses Produkt Null sein. Auf diese Weise verletzt die Nullenergie das HUP. Und so wird es eliminiert.

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Der N = 0 case führt zu einer Wellenfunktion, die überall Null ist, und kann daher kein normalisiertes Wahrscheinlichkeitsgesetz definieren. Daher ist es für das Teilchen sowieso kein physikalisch möglicher Zustand. Auch wenn etwas das Ergebnis einer auf Logik basierenden Argumentation ist, ist es keine Meinung. ;)
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