Eigenfunktionen der Schrödinger-Gleichung

Warum werden Lösungen der Schrödinger-Gleichung Eigenfunktionen genannt ? Für ein Elektron, das sich in einem eindimensionalen Gitter bewegt, sind die Eigenfunktionen gegeben durch $$\psi(x)=u_k(x)e^{ikx}.$

Ist das eine Terminologiefrage?
Ich weiß nicht, was Terminologiefrage bedeutet.
Wenn Sie tiefer wissen wollen, warum das so passiert, können Sie etwas über die Spektraltheorie in der Funktionalanalysis lernen.
Liegt es auch daran, dass sie die Lösungen der Eigenwertgleichung sind
H ψ = E ψ
„Terminologie“ bezieht sich normalerweise auf einen Namen – in diesem Fall den Namen der Größen, die wir „Eigenfunktionen“ nennen. Ich habe es so interpretiert, dass Sie wissen wollten, warum Eigenfunktionen "Eigenfunktionen" genannt werden.
Die Schrödinger-Gleichung ist nicht nur das Eigenwertproblem; es ist eine dynamische Gleichung auf dem Hilbert-Raum: ich ∂ T ψ ( T , X ) = H ψ ( T , X ) . Die Lösungen dieser Gleichung sind nicht alle Eigenfunktionen von H . Bei gegebener Eigenfunktion (falls im Hilbert-Raum vorhanden) ψ E ( X ) so dass H ψ E ( X ) = E ψ E ( X ) ( E ∈ R ), dann die zugehörige Lösung ψ E ( T , X ) der Schrödinger-Gleichung mit ψ E ( 0 , X ) = ψ E ( X ) (Ausgangszustand) ist ganz einfach: ψ E ( T , X ) = e − ich T E ψ E ( X ) . Zusätzlich, ψ E ( T , X ) ist eine Eigenfunktion für alle T ∈ R .

Antworten (1)

Der Eigenwert ist etwas, womit Physiker vertraut sein sollten. Für eine Matrix gilt A , multipliziert mit einem Vektor X , wir bekommen

(1) A X = λ X
Wo λ ist der Eigenwert, ein Merkmal von A An X .

Eine Eigenfunktion ist mit Gleichung (1) verwandt. Gegeben ein Operator (ein Differentialoperator im Fall der Quantenmechanik), A , wirkt auf eine Funktion , F ( X ) , wir haben die Beziehung,

(2) A F = λ F
Wo λ heißt immer noch Eigenwert. Eine Funktion, die diese Beziehung erfüllt, heißt Eigenfunktion .

Beachten Sie, dass nicht jede Funktion diese Beziehung erfüllt. Zum Beispiel gegeben A = D D X (Differentialoperator erster Ordnung) und F ( X ) = X 2 , die resultierende Operation ist

A F = D D X ( X 2 ) = 2 X ≠ λ F ( X )
damit ist (2) nicht erfüllt. Wie auch immer, wenn F ( X ) = e k X , Dann
A F = D D X ( e k X ) = k e k X = k F ( X )
was (2) mit Eigenwert erfüllt λ = k .

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