Kann ich anhand der Eigenwerte den Potentialterm in der Schrödinger-Gleichung bestimmen? [Duplikat]

Es gibt unterschiedliche Potentiale, die dieselben Eigenwerte haben, aber einen. Sie werden isospektral genannt. Darauf basiert die supersymmetrische Quantenmechanik . Zum Beispiel das Potential des unendlichen Brunnens

$$V_1(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0 & \quad\hbox{if }\ 0\le x \le L \\ \infty &\hbox{otherwise}\, ,\end{array}\right.$$ teilt alle Eigenwerte mit $$V_2(x)=\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\left(2\csc^2(\pi x/L)-1\right)$$ außer dem Grundzustandseigenwert$E_0^{1}=\hbar^2\pi^2/(2mL^2)$. In der Tat allgemeiner$E_k^{1}=E_{k-1}^2$für$k=1,2,\ldots$, dh der erste angeregte Zustand von$V_1(x)$ist der Grundzustand von$V_2(x)$. (Die Eigenfunktionen sind für die beiden Potentiale ziemlich unterschiedlich.)

Ich nehme an, das bedeutet, dass Sie das Potenzial nicht vollständig bestimmen können, es sei denn, Sie wissen sicher , dass Sie alle Eigenwerte haben

(Dies stammt aus Notizen und der Rezension von Fred Cooper. Hoffentlich können sachkundigere Personen auf Fehler in meiner Antwort hinweisen.)