Gibt es ein Quantenpotential, das exponentielle Eigenwerte erzeugt?

Übliche Zentralpotentiale erzeugen Quantenspektren mit Energieniveaus, die als gehen N , N 2 , N 3 und so weiter, Sein N die Quantenzahl der Umlaufbahn. Im anderen Extrem haben wir "Dirac-Delta"-Potentiale, die nur einen einzigen diskreten Eigenwert haben. Ich habe mich gefragt, welches Potenzial wir brauchen, um ein Exponential zu erzeugen e N Satz diskreter Eigenwerte?

Antworten (1)

Für 1D-Potentiale die Folge der Energieeigenwerte des gebundenen Zustands E N kann nicht schneller wachsen als das, was im Fall eines unendlichen Brunnens passiert , dh E N kann nicht schneller wachsen als N 2 .

Hinweis hinzugefügt: Diese Grenze gilt auch in höheren Dimensionen.
Ich mache mir immer noch Sorgen, weil ich ein Potential mit jeder beliebigen endlichen Menge gebundener Zustände herstellen kann. Hier gibt es eine feine Konvergenzmagie.
Vermutung ... eine endliche Menge von gebundenen Zuständen, die exponentiell wachsen, könnte sich einem Potenzial von "Gezeiten" -Art annähern, v ( X ) ∼ 1 / X 2 , oder?
Ein negatives attraktives 1D-Potential der asymptotischen Form
− v ( X ) ∼ 1 / X 2 für | X | → ∞
(wobei wir implizit davon ausgehen, dass eine Singularität bei X = 0 wurde regularisiert) würde zu exponentiell abfallenden Energieniveaus führen
− E N ∼ e − μ N für N → ∞ .
Dieses Potenzial wird auch in dieser Phys.SE-Antwort diskutiert.
Gibt es ein Quantenpotential, das exponentielle Eigenwerte erzeugt?
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