Entartung der Energieniveaus für ein "Teilchen in einem rechteckigen dreidimensionalen Kasten"

Nicht wirklich. Die Energien eines Teilchens in einem Kasten mit Seitenlängen$L \times \alpha L \times \beta L$Sind

$$E = \frac{h^2}{8 m L^2} \left( n_x^2 + \frac{n_y^2}{\alpha^2} + \frac{n_z^2}{\beta^2}\right).$$ Die Frage der Entartung ist dann eigentlich eine Frage der Zahlentheorie: Unter welchen Umständen sind zwei verschiedene Tripel$(n_x, n_y, n_z)$Und$(m_x, m_y, m_z)$so dass $$n_x^2 + \frac{n_y^2}{\alpha^2} + \frac{n_z^2}{\beta^2} = m_x^2 + \frac{m_y^2}{\alpha^2} + \frac{m_z^2}{\beta^2}?$$

Dies ist ein schwieriges Problem, und ich bin mir nicht sicher, ob es eine universelle Antwort darauf gibt. Folgendes können wir jedoch festhalten:

• Wenn die quadrierten Seitenlängen der Box keine rationalen Vielfachen voneinander sind (d. h.$\alpha^2,\beta^2 \not\in \mathbb{Q}$Und$\alpha^2/\beta^2 \not \in \mathbb{Q}$), dann kann es (glaube ich) keine eindeutigen Lösungen geben. Der Beweis ist für eine 2-D-Box ziemlich einfach, und ich wäre schockiert, wenn er sich nicht auf 3-D übertragen ließe, aber ich gebe zu, dass ich kein einfaches Argument dafür sehe.
• In dem Fall wo$\alpha = \beta = 1$, reduziert sich dies auf die Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine gegebene ganze Zahl als Summe von drei (nicht Null) Quadraten zu schreiben. Einige Diskussionen und nützliche Links zu diesem Thema finden Sie auf Math.SE: Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten, wie eine Zahl als Summe von drei Quadraten geschrieben werden kann. Darüber hinaus ist uns immer eine mindestens dreifache Entartung aller Ebenen garantiert$n_x = n_y \neq n_z$, und mindestens sechsfache Entartung aller Ebenen, für die alle drei$n$sind verschieden.

Meine Frage ist, ob es eine Formel gibt (in diesem Fall für eine rechteckige dreidimensionale Box), die das manuelle Zählen überflüssig machen würde?

Die Energieniveaus für eine solche Box sind gegeben durch :

$$E_{n_x,n_y,n_z} = \dfrac{h^{2}}{8m}\left(\dfrac{n_{x}^{2}}{L_x^{2}} + \dfrac{n_{y}^{2}}{L_y^{2}} + \dfrac{n_{z}^{2}}{L_z^{2}}\right)$$

Wo$n_x$,$n_y$Und$n_z$sind die Quantenzahlen.

Von dort kann die Entartung leicht nachgelesen werden.

Scrollen Sie im Link nach unten für Entartung in einem 3D-Würfel und für$L_x \neq L_y \neq L_z$.