Virialsatz und Variationsmethode: eine Übung (neu bearbeitet)

Ich habe ein Wasserstoffatom und weiß, dass sein Hamilton-Operator modifiziert wurde, indem er das Standardpotential dreht

$$V_{0}(r) = -\frac{Z}{r}$$ hinein $$V(r) = -\frac{g}{r^{\frac{3}{2}}}$$ mit $g$eine positive Konstante.

Es soll eine obere Schranke der Grundzustandsenergie bestimmt werden.

Ich dachte an die Verwendung der Variationsmethode mit einer Testfunktion

$$\psi(\xi) = A\cdot e^{-\xi r}$$ $A = \frac{\xi^3}{\pi}$(Normierungsbedingung). Die Idee zu einer solchen Wellenfunktion kommt vom Betrachten $V(r)$als Standard-Wasserstoffpotential mit "ortsabhängiger Ordnungszahl", $Z(r) = g\cdot r^{-5/2}$.

ERSTE FRAGE: Ist das eine gute Wahl für die Testfunktion? Wenn nicht, warum?

Also, genau wie in einem gewöhnlichen Wasserstoffatom,

$$\langle T\rangle = \langle\psi(\xi)|-\frac{\nabla^2}{2}|\psi(\xi)\rangle = \frac{\xi^2}{2}$$

Ich dachte daran, den Virialsatz (Being$V(r)$kugelsymmetrisch u$\propto r^{-3/2}$), um den Teil zu berechnen$\langle V\rangle$:

$$\langle V\rangle = -\frac{4}{3}\langle T\rangle$$ Aber ich konnte es nicht anwenden, ohne etwas Unlogisches zu erhalten!

Berechnung$\langle V\rangle$ausdrücklich fand ich

$$\langle V\rangle = \langle \psi(\xi)|-\frac{g}{r^{-3/2}}|\psi(\xi)\rangle = 4\pi A^2 \int_0^{\infty} \! r^2 e^{-2\xi r}(-\frac{g}{r^{3/2}}) \, \mathrm{d}r =$$ $$-4g\xi^3\int_0^{\infty} \! r^{1/2} e^{-2\xi r}\, \mathrm{d}r \xrightarrow[{d}r \rightarrow 2t{d}t]{r \rightarrow t^2} -8g\xi^3\int_0^{\infty} \! t^2 e^{-2\xi t^2}\, \mathrm{d}t =$$ $$-8g\xi^3\frac{1}{4{(2\xi)}^{3/2}}\sqrt{\pi} = -\sqrt{\frac{\pi}{2}}g\xi^{3/2}$$

Wenn ich also weiterhin die Variationsmethode anwende, muss ich minimieren

$$E(\xi) = \langle\psi(\xi)|H|\psi(\xi)\rangle = \langle\psi(\xi)|-\frac{\nabla^2}{2}-\frac{g}{r^{-3/2}}|\psi(\xi)\rangle =$$ $$\langle T\rangle + \langle V\rangle = \frac{\xi^2}{2} -\sqrt{\frac{\pi}{2}}g\xi^{3/2}$$ berechnen $$\frac{{d}E(\xi)}{{d}\xi} = \xi - \frac{3}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}g\xi^{1/2} = 0 \Rightarrow \begin{cases} \xi = 0 \\ \xi = \frac{9\pi}{8}g^2 = \bar{\xi} \end{cases}$$ Die einzig akzeptable Lösung ist die positive,$\bar{\xi}$, so dass eine obere Grenze zur Grundzustandsenergie besteht
$$E(\bar{\xi}) = \frac{\bar{\xi}^2}{2} -\sqrt{\frac{\pi}{2}}g\bar{\xi}^{3/2}$$

ZWEITE FRAGE: Wie kann ich den Virialsatz richtig anwenden?

Ich habe so etwas schon einmal gefragt und dachte, ich hätte es verstanden, aber offensichtlich habe ich es nicht. Bitte machen Sie mir das klar; Vielen Dank im Voraus!