Ich habe an Shankar 8.6.4 gearbeitet, bei dem es darum geht, den Hamilton-Operator eines geladenen Teilchens in einer Dimension aus der Pfadintegralformulierung zu erhalten.
Zuerst bekomme ich den Propagator über eine Zeitscheibeϵ
, welches ist
U( x , ϵ ;X') =M2π _ich ℏϵ−−−−−√exp(ichℏ(Mη22 ϵ−QηCA ( x + α η, 0 ) − ϵq _ϕ ( x + α η, 0 ) ) )
Woη=X'− x
,A
ist das Vektorpotential, undϕ
ist das Skalarpotential.
Dann erhalte ich einen Ausdruck für die Zeitentwicklung des anfänglichen Wellenzustands in einer Zeitscheibe:
ψ ( x , ϵ )=∫∞− ∞U( x , ϵ ;X') ψ (X', 0 )DX'=M2π _ich ℏϵ−−−−−√∫∞− ∞exp(ichℏ(Mη22 ϵ−QηCA ( x + α η, 0 ) − ϵq _ϕ ( x + α η, 0 ) ) ) ψ(x+η, 0 )Dη
Ich erweitere die folgenden Ausdrücke zu Reihen:
exp( -ich qηℏCA ( x + α η, 0 ) )= 1 −ich qηℏCA ( x + α η, 0 ) −12(QηℏCA ( x + α η, 0 ) )2+ ⋯= 1 −ich qηℏCEIN ( x , 0 ) + ( -12(QℏCA ( x , 0 ) )2−ich α qℏC∂A ( x , 0 )∂X)η2+ ⋯
exp( -ich ϵ qℏϕ ( x + α η, 0 ) )= 1 −ich ϵ qℏϕ ( x + α η, 0 ) + ⋯= 1 −ich ϵ qℏϕ ( x , 0 ) + ⋯
ψ ( x + η, 0 )= ψ ( x , 0 ) + η∂ψ ( x , 0 )∂X+η22∂2ψ ( x , 0 )∂X2+ ⋯
Der Wellenzustand nach der Zeitscheibe ist
ψ ( x , ϵ ) ====M2π _ich ℏϵ−−−−−√∫∞− ∞exp( -Mη22 ich ℏϵ)⋅ erw( -ich qηℏCA ( x + α η, 0 ) ) erw( -ich ϵ qℏϕ ( x + α η, 0 ) ) ψ ( x + η, 0 )DηM2π _ich ℏϵ−−−−−√∫∞− ∞exp( -Mη22 ich ℏϵ)⋅ ( ( 1 −ich ϵ qϕXℏ)ψX+η2( -12(QAXℏC)2ψX−ich α qℏC∂AX∂XψX−ich qℏCAX∂ψX∂X+12∂2ψX∂X2) )Dη( 1 −ich ϵ qϕXℏ)ψX+ (ich ϵ ℏM) ( -12(QAXℏC)2ψX−ich α qℏC∂AX∂XψX−ich qℏCAX∂ψX∂X+12∂2ψX∂X2)ψX−ich ϵℏ( qϕX+12 m(QAXC)2+ich ℏα qm c∂AX∂X+ich ℏQm cAX∂∂X−ℏ22 m∂2∂X2)ψX
wo für Felder und Staaten,ωX= ω ( x , 0 )
.
Gemäß dem oben Gesagten
ich ℏ| ψ ⟩˙= ( qϕ +12 m(QAC)2−α qm cPEIN- _Qm cEin P+P22 m) | ψ ⟩
aber nach dem Mittelpunkt Rezepta =12
, sollte der Hamiltonian sein
Qϕ +12 m(QAC)2−Q2 m cPEIN- _Q2 m cEin P+P22 m
Was geschah mit dem Koeffizienten vonEin P
?
Tom Heinzl