Was sind die minimalen Postulate, um Quantenmechanik in Wegintegralformulierung durchzuführen, ohne die Operatorformulierung zu kennen?

Der Pfadintegralformalismus ersetzt den Operatorformalismus nicht wirklich. Sie müssen noch wissen, dass der Zustandsraum ein Hilbert-Raum ist, dass Wahrscheinlichkeiten in diesem Raum durch Normquadrierung berechnet werden, dass Observables Operatoren auf diesem Raum sind, dass die Zeitentwicklung durch einen einheitlichen Operator implementiert wird und so weiter.

Grundsätzlich müssen Sie mit den Dirac-von-Neumann-Axiomen (oder etwas sehr Ähnlichem) beginnen:

1. Zustände sind Strahlen in einem Hilbertraum$\mathcal{H}$.
2. Observables sind selbstadjungierte Operatoren on$\mathcal{H}$.
3. Der Erwartungswert einer Observable$A$in einem durch einen Einheitsvektor repräsentierten Zustand$\psi$ist$E[A] = \langle \psi, A \psi\rangle$.

Sie brauchen diese Postulate, um eine Verbindung zum Experiment herzustellen. Das Pfadintegral liefert keine Alternativen. (Sie verwenden diese grundlegenden Postulate implizit, wenn Sie über Überlagerungen von Zuständen sprechen und wenn Sie die Endpunkte von Trajektorien mit beobachtbaren Größen kennzeichnen.) Aber diese Postulate sind eher minimal. Sie erwähnen nicht einmal die Zeitentwicklung. Also fügen die Leute normalerweise ein weiteres Axiom hinzu:

4. Die Zeitentwicklung wird auf dem Zustandsraum durch einheitliche Operatoren dargestellt$U(t)$, zum$t \in \mathbb{R}$.

Der Pfadintegralformalismus und der kanonische Formalismus sind keine wirklich konkurrierenden Sätze physikalischer Postulate. Sie sind nur verschiedene Methoden zum Aufstellen von Beispielen, die die obigen physikalischen Postulate erfüllen.

Schauen wir uns ein Beispiel an, ein Teilchen, das sich in einem Potential bewegt$V$im 3-Raum.

Im kanonischen Formalismus deklarieren Sie den Zustandsraum$L^2(\mathbb{R}^3)$, dass die Observablen Funktionen der Standard-Multiplikations- und Differenzierungsoperatoren sind$Q$und$P$, und dass die zeitliche Entwicklung durch gegeben ist$U(t) = e^{-itH/\hbar}$wo$H$ist der Hamiltonoperator$P^2/2m + V(Q)$.

Beim Pfadintegralformalismus beginnen Sie mit den gleichen Eingabedaten (dem Konfigurationsraum$\mathbb{R}^3$, die Masse$m$, und das Potenzial$V$), und Sie verwenden sie, um Integrale im Raum von Pfaden zu definieren. Dann verwenden Sie diese Pfadintegrale, um einen Hilbert-Raum, Observablen, die auf den Hilbert-Raum einwirken, und Zeitentwicklungsoperatoren zu konstruieren$U(t)$. Das Pfadintegral konstruiert direkt die Matrixelemente von$U(t)$, und Sie leiten dann die Schrödinger-Gleichung her.

Modulo einige Normalisierungsprobleme, das sagen Ihre Gleichungen 1 und 2: Ihre$G(x_2,t_2; x_1, t_1)$ist das Matrixelement$\langle x_2 | U(t_2 - t_1) | x_1 \rangle$, und Gleichung 2 sagt genau das aus$\psi(t_2) = U(t_2 - t_1) \psi(t_1)$.

Beachten Sie auch: Die Ableitung der Schrödinger-Gleichung ist nicht tief. Alles, was Schrödingers Gleichung sagt, ist, dass Zeitverschiebungen einheitlich auf dem Hilbert-Raum wirken.$i\hbar \partial_t \psi(t) = H \psi(t)$ist die äquivalente infinitesimale Form von$\psi(t) = e^{-itH/\hbar} \psi(0)$. Es ist interessant, wenn Sie gewählt haben$H$durch eine klassische Analogie und müssen jetzt finden$U(t)$/ löse das Eigenzustandsproblem. Im Pfadintegral haben Sie jedoch$U(t)$schon, und du findest$H$über$H = i\hbar \partial_t U(t)|_{t=0}$.

Ebenso beweisen Sie, dass der Hilbert-Raum, den Sie aus dem Pfadintegral erhalten, tatsächlich ist$L^2(\mathbb{R}^3)$, dass die Observablen die üblichen Orts- und Impulsoperatoren sind und dass der Hamilton-Operator wirklich derjenige ist, den Sie erwarten würden.

Also, wie erhält man eigentlich einen Hilbert-Raum aus einem Pfadintegral? Grundsätzlich teilen Sie einen Zeitabschnitt$[0,t]$hinein$[0,s] \cup [s,t]$, und Sie sehen sich an, wie sich das Pfadintegral über die kleineren Intervalle und über die Feldwerte an der Grenze in Integrale zerlegt. Das Integral über die Grenzen definiert das innere Produkt des Hilbert-Raums. Dann werden Observable definiert, indem das Pfadintegral verwendet wird, um ihre Matrixelemente zu berechnen. Anhang 1 von Polchinksi Vol. 1 hat eine ziemlich nette Erklärung dafür.

-- Fußnote --

Wenn Sie mit den mathematischen Details vorsichtig sind, konstruieren Sie euklidische Pfadintegrale und erhalten das Wiener-Maß$d\mu(\phi) = e^{-S(\phi)} d\phi$verbunden sein mit$V$und$m$. Dann verwenden Sie den Osterwalder-Schrader-Rekonstruktionssatz, um den Hilbert-Raum und die Operatoren zu definieren. Dies wird ausführlich in den Kapiteln 3 und 6 des Buches Quantenphysik von Glimm & Jaffe behandelt .

Die Grundidee ist folgende:

1. Wiener-Maße erlauben es, bestimmte Funktionen auf dem Pfadraum zu integrieren, nämlich solche, die durch Funktionen der Form systematisch angenähert werden können$F_{t_i}(\phi) = \phi(t_1) \phi(t_2) .. \phi(t_n)$.
2. Wiener Maßnahmen sind reflexionspositiv: Let$\mathcal{F}^+$sei die Sammlung von Funktionen der obigen Form, für die nur Näherungen gelten$t_i > 0$. Dann wird die bilineare Form durch definiert$B(F_{t_i},G_{t_j}) = \int \overline{F_{-t_i}(\phi)} G_{t_j}(\phi) d\mu(\phi)$ist nicht negativ.
3. Der Hilbertraum ist der Quotient$\mathcal{H} =\mathcal{F}^+ / \operatorname{kernel}(B)$.
4. Jede Funktion$F$in$\mathcal{F}^+$wirkt auf$\mathcal{F}^+$über Multiplikation. Diese Multiplikationen steigen ab, um Observablen weiter zu definieren$\mathcal{H}$.
5. Übersetzungen von$t > 0$handeln$\mathcal{F}^+$. Dies läuft auf die Aktion einer Halbgruppe hinaus$\mathbb{R}_{\geq 0}$, und diese Halbgruppenaktion setzt sich analytisch fort zu einer einheitlichen Aktion von$\mathbb{R}$.

Es gibt Axiome von Osterwalder & Schrader, die garantieren, dass ein euklidisches Pfadintegralmaß einen Hilbert-Raum und Observablen definiert, die eine stärkere Form der obigen Axiome erfüllen (die Wightman-Axiome). Ich glaube jedoch nicht, dass die OS-Axiome physikalische Postulate sind. Sie beziehen sich nicht auf beobachtbare Größen, und sie nutzen die imaginäre Zeit auf eine Weise, die sich nicht auf alle Quantentheorien verallgemeinern lässt.