Wie kommt der Spin in den pfadintegralen Ansatz der Quantenmechanik?

Question

Wie kommt der Spin in den pfadintegralen Ansatz der Quantenmechanik?

EtaZetaTheta

Ich versuche zu verstehen, wie man die Quantenmechanik durch die Verwendung von Pfadintegralen motiviert. Da der Wegintegral-Ansatz eine so direkte Verbindung zur klassischen Mechanik (über das Prinzip der kleinsten Wirkung) bietet und weil er ein so direktes physikalisches Verständnis des Unterschieds zwischen klassischer und Quantenmechanik bietet, halte ich ihn für eine wirklich wertvolle Linse, um dies zu erreichen Quantentheorie verstehen. Allerdings habe ich einige konzeptionelle Schwierigkeiten bei der Einführung von Spin.

Das Problem ist folgendes: Angenommen, wir wissen nichts über die Quantenmechanik, außer dass der Raum der Zustände ein komplexer Hilbert-Raum ist, dessen inneres Produkt Quantenzustände auf Wahrscheinlichkeitsamplituden abbildet. Vorausgesetzt, dass sich ein System in einem gewissen Quantenzustand befindet $|\psi,t_0\rangle$ , können wir den Zustand des Systems zu einem späteren Zeitpunkt schreiben $t$ als

| ψ, T ⟩ = \hat{U} (T, T_{0}) | ψ, T_{0} ⟩ .

$|\psi,t\rangle = \hat{U}(t,t_0)|\psi,t_0\rangle.$ Wir wissen das

\hat{U}

$\hat{U}$ muss aufgrund der probabilistischen Interpretation des Skalarprodukts ein unitärer Operator sein

⟨ ψ | ψ ⟩

$\langle\psi|\psi\rangle$ , und damit das

U (T_{0}, T) = U^{†} (T, T_{0}) .

$U(t_0,t) = U^\dagger(t,t_0).$ Wenn wir eine Zeitableitung nehmen, haben wir das

\frac{\partial}{\partial T} | ψ, T ⟩ = \frac{\partial \hat{U} (T, T_{0})}{\partial T} | ψ, T_{0} ⟩ = \frac{\partial \hat{U} (T, T_{0})}{\partial T} {\hat{U}}^{†} (T, T_{0}) | ψ, T ⟩ .

$\frac{\partial}{\partial t}|\psi,t\rangle = \frac{\partial\hat{U}(t,t_0)}{\partial t}|\psi,t_0\rangle = \frac{\partial\hat{U}(t,t_0)}{\partial t}\hat{U}^\dagger(t,t_0)|\psi,t\rangle.$ Wenn wir den Operator definieren

Λ (T, T_{0}) = \frac{\partial \hat{U} (T, T_{0})}{\partial T} {\hat{U}}^{†} (T, T_{0}),

$\Lambda(t,t_0) = \frac{\partial\hat{U}(t,t_0)}{\partial t}\hat{U}^\dagger(t,t_0),$ können wir zeigen (nur unter Verwendung der Unitarität von

\hat{U}

$\hat{U}$ Das

Λ (t, t_{0})

$\Lambda(t,t_0)$ ist a.) unabhängig von

t_{0}

$t_0$ und b.) antihermitisch. Anschließend definieren wir den Operator

H (T) = ich ℏ Λ (T),

$H(t) = i \hbar \Lambda(t),$ so dass die zeitliche Entwicklung eines Quantenzustands durch die Schrödinger-Gleichung als gegeben ist

ich ℏ \frac{\partial}{\partial T} | ψ, T ⟩ = H (T) | ψ, T ⟩ .

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi,t\rangle = H(t)|\psi,t\rangle.$ Jetzt muss nur noch der Betreiber ermittelt werden

H (t)

$H(t)$ . Wir könnten einfach die Form dieses Operators postulieren, aber stattdessen verwenden wir den Pfadintegralansatz als Postulat und leiten die Form von ab

H (t)

$H(t)$ von dort. Wir nehmen an, dass die Matrixelemente des unitären Zeitentwicklungsoperators sind

\hat{U} (t, t_{0}

$\hat{U}(t,t_0$ werden von gegeben

⟨ \vec{R} | \hat{U} (T, T_{0}) | {\vec{R}}_{0} ⟩ = \int D \vec{R} e^{\frac{ich}{ℏ} S [\vec{R} (T)]},

$\langle\vec{r}|\hat{U}(t,t_0)|\vec{r}_0\rangle = \int\mathcal{D}\vec{r}\,e^{\frac{i}{\hbar}S[\vec{r}(t)]},$ Wo

S

$S$ ist die klassische Aktion und

\int D \vec{r}

$\int\mathcal{D}\vec{r}$ bezeichnet die Integration (wie auch immer sie definiert sein mag) über den Raum der Pfade, die die Raumzeitpunkte verbinden

(t_{0}, {\vec{r}}_{0})

$(t_0,\vec{r}_0)$ Und

(t, \vec{r})

$(t,\vec{r})$ . Mit diesem Postulat können wir die Matrixelemente des Operators schreiben

H (t)

$H(t)$ als

\begin{aligned} ⟨ \vec{R} | H (T) | {\vec{R}}_{0} ⟩ & = ich ℏ \int D {\vec{R}}^{'} \frac{\partial}{\partial T} [⟨ \vec{R} | \hat{U} (T, T_{0}) | {\vec{R}}^{'} ⟩] ⟨ {\vec{R}}^{'} | {\hat{U}}^{†} (T, T_{0}) | {\vec{R}}_{0} ⟩, \\ = ich ℏ \int D {\vec{R}}^{'} \frac{\partial}{\partial T} [\int D \vec{R} e^{\frac{ich}{ℏ} S [\vec{R} (T)]}] ⟨ {\vec{R}}^{'} | {\hat{U}}^{†} (T, T_{0}) | {\vec{R}}_{0} ⟩, \\ = ich ℏ \int D {\vec{R}}^{'} [\int D \vec{R} \frac{\partial}{\partial T} e^{\frac{ich}{ℏ} S [\vec{R} (T)]}] ⟨ {\vec{R}}^{'} | {\hat{U}}^{†} (T, T_{0}) | {\vec{R}}_{0} ⟩, \\ = ich ℏ \int D {\vec{R}}^{'} [\int D \vec{R} \frac{ich}{ℏ} \frac{\partial S}{\partial T} e^{\frac{ich}{ℏ} S [\vec{R} (T)]}] ⟨ {\vec{R}}^{'} | {\hat{U}}^{†} (T, T_{0}) | {\vec{R}}_{0} ⟩, \\ = \int D {\vec{R}}^{'} [\int D \vec{R} (- \frac{\partial S}{\partial T}) e^{\frac{ich}{ℏ} S [\vec{R} (T)]}] ⟨ {\vec{R}}^{'} | {\hat{U}}^{†} (T, T_{0}) | {\vec{R}}_{0} ⟩ . \end{aligned}

$\begin{align}\langle\vec{r}|H(t)|\vec{r}_0\rangle &= i\hbar\int \mathrm{d}\vec{r}'\frac{\partial}{\partial t}\left[\langle\vec{r}|\hat{U}(t,t_0)|\vec{r}'\rangle\right]\langle\vec{r}'|\hat{U}^\dagger(t,t_0)|\vec{r}_0\rangle,\\ &= i\hbar\int \mathrm{d}\vec{r}'\frac{\partial}{\partial t}\left[\int\mathcal{D}\vec{r}\,e^{\frac{i}{\hbar}S[\vec{r}(t)]}\right]\langle\vec{r}'|\hat{U}^\dagger(t,t_0)|\vec{r}_0\rangle,\\ &= i\hbar\int \mathrm{d}\vec{r}'\left[\int\mathcal{D}\vec{r}\frac{\partial}{\partial t}\,e^{\frac{i}{\hbar}S[\vec{r}(t)]}\right]\langle\vec{r}'|\hat{U}^\dagger(t,t_0)|\vec{r}_0\rangle,\\ &= i\hbar\int \mathrm{d}\vec{r}'\left[\int\mathcal{D}\vec{r}\frac{i}{\hbar}\frac{\partial S}{\partial t}\,e^{\frac{i}{\hbar}S[\vec{r}(t)]}\right]\langle\vec{r}'|\hat{U}^\dagger(t,t_0)|\vec{r}_0\rangle,\\ &= \int \mathrm{d}\vec{r}'\left[\int\mathcal{D}\vec{r}\left(-\frac{\partial S}{\partial t}\right)\,e^{\frac{i}{\hbar}S[\vec{r}(t)]}\right]\langle\vec{r}'|\hat{U}^\dagger(t,t_0)|\vec{r}_0\rangle.\end{align}$

Das sagen uns die Hamilton-Jacobi-Gleichungen $-\frac{\partial S}{\partial t}$ ist einfach gleich dem Hamiltonoperator. Jetzt habe ich zwei verwandte Fragen:

1.) Allgemein gesprochen entsprechen Funktionen im Phasenraum, die innerhalb eines Pfadintegrals erscheinen, Operatoren, die außerhalb des Pfadintegrals erscheinen. Kann das gleiche für die Menge getan werden $-\frac{\partial S}{\partial t}$ über die entsprechende Nutzung der Auflösung der Identität?

2.) Wenn ja, dann scheint diese Gleichung die funktionale Form des Operators abzuleiten $H(t)$ wie der klassische Hamiltonoperator mit der üblichen Substitution $(\vec{r},\vec{p})\rightarrow(\hat{\vec{r}},-i\hbar\vec{\nabla})$ . Der Quanten-Hamiltonoperator enthält jedoch oft Spinoperatoren, die (meines Wissens nach) keine klassischen Analoga haben. Wie treten Spin-Operatoren auf $H(t)$ in diesem Formalismus?

Benutzer1379857

Eine freundliche Sammlung von Notizen für diejenigen, die sich für diese Frage interessieren, finden Sie hier hitoshi.berkeley.edu/221a/spin.pdf

Antworten (2)

Wie kommt der Spin in den pfadintegralen Ansatz der Quantenmechanik?

Eine freundliche Sammlung von Notizen für diejenigen, die sich für diese Frage interessieren, finden Sie hier hitoshi.berkeley.edu/221a/spin.pdf

Mike Stein · Answer 1

Es gibt eine umfangreiche Literatur zu Pfadintegralen für Spin. Sie werden normalerweise unter Verwendung der Theorie der verallgemeinerten kohärenten Zustände abgeleitet. Ich bin mir nicht sicher, was ein guter Einstieg in das Thema ist. Ich kann für eine meiner eigenen Veröffentlichungen werben: arXiv:cond-mat/0111139, aber vielleicht ist der beste Ausgangspunkt die Veröffentlichung von Kaluder (JR Klauder, Ann. Phys. (NY), 11, 123 (1960)), falls Sie eine haben Zugriff darauf.

Es ist mit dem Hinweis darauf, dass der Quantenspin klassische Analoga hat . Siehe die Abschnitte über Spin (neben den Seiten 54, 254 und 259) in meinen Online-Vorlesungsunterlagen unter https://courses.physics.illinois.edu/phys509/sp2017/

Permalinks: arxiv.org/abs/cond-mat/0111139 , doi.org/10.1016/0003-4916(60)90131-7

Benutzer1379857 · Answer 2

Wie Sie wahrscheinlich wissen, gibt es zwei verschiedene Themen, die oft als "Quantenmechanik" und "Quantenfeldtheorie" bezeichnet werden. Sie sind eng miteinander verwandt (dh QFT ist genau das, was passiert, wenn Sie ein Halbbild quantisieren), sind aber nicht dasselbe.

Das Pfadintegral ist am nützlichsten in der QFT, wo einige einfache Tricks verwendet werden können, um die Feynman-Regeln abzuleiten. Ein Pfadintegral-Ansatz kann auch zur Ableitung der regulären Quantenmechanik verwendet werden, obwohl er normalerweise nicht besonders nützlich ist.

Im Zusammenhang mit der Einzelteilchen-Quantenmechanik muss der Spin ad hoc in den Aufbau eingebaut werden. Der Begriff des Spins entsteht in QFT etwas natürlicher.

Abgesehen davon gibt es sicherlich eine Verallgemeinerung des Pfadintegrals, die selbst in der Einzelteilchen-Quantenmechanik Spin "ergibt". Es ist aber ziemlich seltsam.

Im Grunde gibt es etwas, das Sie Ihr ganzes Leben lang für selbstverständlich gehalten haben: Variablen pendeln. Ich meine nicht Operatoren, ich meine Variablen. Das heißt, wenn Sie zwei Nummern haben $a$ Und $b$ , Dann $ab = ba$ . $a$ Und $b$ können beispielsweise Orte im Raum sein. Um Ihr Pfadintegral für Spin einzurichten, müssen Sie Antikommutierungsvariablen verwenden . Das heißt, Variablen, bei denen ab = -ba . Mathematisch gesprochen erfordert dies eine „Algebra“, die von solchen Variablen „erzeugt“ wird. Sie werden oft als "Grassmann-Variablen" bezeichnet und Sie sollten sie nachschlagen.

Ich werde nicht auf einen ganzen Kurs über Grassmann-Variablen eingehen, aber eine (normalerweise unterdurchschnittliche) Diskussion über sie ist normalerweise in vielen einführenden QFT-Büchern versteckt.

Was im Grunde passiert, ist, dass Sie mit diesen Grassmann-Variablen eine "pseudoklassische Mechanik" definieren, indem Sie eine Anti-Poisson-Klammer anstelle der üblichen Poisson-Klammer verwenden, die in der klassischen Mechanik verwendet wird. (Schlagen Sie „Hamiltonian Mechanics“ nach, wenn Sie darüber nichts wissen.) Nach der Quantisierung oder dem Pfadintegral erhalten Sie Ihr gutes altes Spin-Quantensystem.

Mit anderen Worten, dies ist definitiv ein Bereich, in dem das Pfadintegral eine viel kompliziertere Art ist, Dinge zu tun!

In Ihrem Setup müssen Sie diese "pseudoklassischen" Mechaniken nur zusammen mit Ihren regulären klassischen Mechaniken in Ihr Pfadintegral stopfen.

(Eine Randbemerkung: Im Zusammenhang mit QFT ergibt das auf reguläre Weise durchgeführte Pfadintegral ein "bosonisches" Feld und das mit Grassman-Variablen erstellte Pfadintegral ein "fermionisches" Feld. Wenn Sie sich also mit diesem Thema befassen, werden Sie Ich werde es manchmal als "fermionisches" Pfadintegral bezeichnen.)

Ich habe diese Grassmann-Variablen ziemlich verwirrend erscheinen lassen, aber sie sind eigentlich nicht so schlimm. Fühlen Sie sich nicht zu sehr von ihnen eingeschüchtert.

Entschuldigung, meine Antwort war lang und weitschweifig, aber Sie haben eine sehr knifflige Frage gestellt!

"oft als "Quantenmechanik" und "Quantenfeldtheorie" bezeichnet" Vielleicht sollte man sich darüber klarer sein: QFT ist eine Metaebene der Quantenmechanik, da ihr Grundzustand die QM-freie Teilchenwellenfunktion für das gegebene Feld ist. QFT basiert auf allen Postulaten der Quantenmechanik.
Danke für deine Antwort! Ich bin mit QFT nur vorübergehend vertraut, aber ich habe von Grassmann-Variablen und fermionischen Pfadintegralen gehört, und Ihre Antwort hat mir eine gute Intuition über diese Konzepte gegeben, die ich sehr schätze.

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EtaZetaTheta

Benutzer1379857

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Mike Stein

QMechaniker

Benutzer1379857

anna v

EtaZetaTheta

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