Lässt sich Spin heute durch Wegintegrale beschreiben?

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Die Antwort ist ja. Eine Darstellung finden Sie in Condensed Matter Field Theory von Altland und Simons ab Seite 134 in der zweiten Auflage. Die Probleme kommen von diesem Spin, der nicht mit einem Hamilton-Operator beschrieben werden kann, der eine Funktion von ist$q$:s und ihr Konjugat$p$:s. Die allgemeinere Formulierung der Hamiltonschen Mechanik in Bezug auf symplektische Mannigfaltigkeiten erlaubt jedoch eine Beschreibung des Spins. Als Referenz dafür führen Altland und Simons Arnolds Mathematical Methods of Classical Mechanics an. Es ist ein unterschätztes Juwel von einem Buch.

Wenn wir also das Pfadintegral konstruieren, betrachten wir die Pfade als Pfade im Phasenraum,$p$:s und$q$:s. Ich denke, um dies geometrisch zu verstehen, müssen wir zu den "Grundlagen" zurückkehren. Die Lagrange-Formulierung haben wir Koordinaten$q$und Geschwindigkeiten$\dot q$. Die Koordinaten können Koordinaten auf jeder Mannigfaltigkeit sein – deshalb ist der Lagrange-Formalismus so gut für eingeschränkte Systeme – also sind die Geschwindigkeiten wirklich Tangentenvektoren. Die Lagrange-Mechanik ist daher natürlich auf Tangentialbündeln formuliert. Aber wir können die Legendre-Transformation nehmen und zum Hamiltonschen Formalismus übergehen$p$:s und$q$:s. Damit kommen wir zum Kotangensbündel, z

$$p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q^i}$$ ist die 1-Form, die ist $\partial L /\partial \dot q^i$auf dem Vektorfeld $\dot q^i$und 0 auf den anderen Koordinatenvektorfeldern.

Sie können jedoch die gesamte Hamilton-Mechanik auf jeder Mannigfaltigkeit anwenden, die eine symplektische Struktur aufweist . Eine symplektische Struktur ist 2-Form$\omega$so dass$d\omega = 0$und für jeden Vektor$v$,$\omega(v, \cdot)$ist nicht die Null-1-Form. (Sie können sich vorstellen$\omega$als eine Art antisymmetrische Metrik.) Das tut Arnold in seinem Buch. Das Kotangensbündel kommt natürlich mit einem solchen$\omega$:

$$\omega = dp_1 \wedge dq_1 + \ldots dp_n \wedge dq_n$$ (Diese 2-Form ist unabhängig von Ihrer Wahl der Koordinaten $q$). Der Hamiltonoperator ist eine Funktion an $M$, so dass Sie im speziellen Fall eines Kotangensbündels davon ausgehen können, dass es eine Funktion von ist $p$:s und $q$:s.

Jetzt können Sie den Bahndrehimpuls gut mit dem Vektorpotential koppeln$p$:s und$q$:s. Aber wie macht man das mit dem Eigendrehimpuls, also dem Spin? Wir wollen einen Hamiltonian wie

$$H = \mathbf B \cdot \mathbf S.$$ Da der Spin eines Teilchens eine bestimmte Größe hat, ist der dynamische Anteil des Spins seine Richtung . Dieser Hamiltonoperator ist also auf einer Mannigfaltigkeit wie definiert $T^* M \times S^2$(Ich habe den ersten Faktor dort eingefügt, weil $\mathbf B$kann natürlich im Raum variieren). Das hängt natürlich davon ab $S^2$eine Zulässigkeit haben $\omega$, aber Sie können die Volumenform nehmen $$\omega = \sin\theta\; d\theta \wedge d \varphi$$ mit $\theta, \varphi$die üblichen Koordinaten.

Daher sollten die Pfade, die Sie bei Ihrer Konstruktion des Pfadintegrals für den Spin verwenden, Pfade auf der Kugel sein, die Sie verwenden können$\theta, \varphi$als Koordinaten. Es gibt eine formale Komplikation im Quantenfall, da unsere Zustände auch Phasen haben. Das bedeutet, dass wir wirklich Pfade in verwenden sollten$SU(2)$, da ein beliebiger Spinzustand immer wie geschrieben werden kann

$$|g\rangle := g\vert\uparrow \rangle$$ wo $\vert\uparrow\rangle$ist ein Referenzzustand. So sollte die zur Konstruktion des Pfadintegrals eingesetzte Identitätsauflösung sein $$\operatorname{id} \int_{SU(2)} \vert g \rangle \langle g\vert$$ (Die Integration erfolgt bezüglich an $SU(2)$-invariante Volumenform.) Dies führt zu einem zusätzlichen Term, dem Üblichen $\partial_\tau$, im Pfadintegral. Es stellt sich jedoch heraus, dass die Phase für diesen Term irrelevant ist, sodass das Pfadintegral wirklich über Pfade auf der Kugel verläuft$S^2$. Die detaillierte Berechnung finden Sie in Altland und Simons.