Warum ist das magnetische Moment des Elektrons immer parallel zum Spin eines Elektrons?

Betrachten Sie den Hamilton-Operator

$$\hat{H}=\frac{1}{2}\omega\vec{B}\cdot \vec{\sigma}$$

Wo$\vec{\sigma}$ist der Pauli-Vektor$=\begin{pmatrix}\sigma_x & \sigma_y & \sigma_z \end{pmatrix}$,$\omega$ist die Frequenz des Magnetfeldes$\vec{B}=\begin{pmatrix}B_x & B_y & B_z \end{pmatrix}$

Der Elektronenspin wird durch einen zweidimensionalen Hilbertraum beschrieben. Angenommen, wir wählen die Basis dieses Raums als Spin-Up- und Spin-Down-Zustände aus$\{\lvert 1\rangle,\lvert 0\rangle\}$. Dann kann jeder Spinzustand mit den Wahrscheinlichkeitsamplituden wie folgt geschrieben werden$a,b$den üblichen Normalisierungsbeschränkungen unterworfen

$$\lvert s(t)\rangle=a(t)\lvert 1\rangle+b(t)\lvert 0\rangle$$

Die Wahrscheinlichkeit, in irgendeiner Richtung +1 zu messen$\vec{\sigma}\cdot \hat{n}$, t Sekunden später kann leicht bestimmt werden, indem zuerst ein gegebenes entwickelt wird$\lvert s(0)\rangle$mit$e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}$zu bekommen$\lvert s(t)\rangle$und dann berechnen$||\langle \lambda_+\lvert s(t)\rangle||^2$Wo$\lambda_+$ist der Eigenvektor entspricht +1 für die Messung in der$\hat{n}$Richtung. Daher können wir leicht erkennen, dass die Transformation durch das Magnetfeld den Spinzustand effektiv dreht.

Das magnetische Moment eines Elektrons hängt von seinem Spin ab

$$\vec{\mu}=\frac{ge}{2m}\frac{\hbar}{2}\vec{\sigma}$$

Die obigen Berechnungen scheinen jedoch kein Licht darauf zu werfen, wie das magnetische Moment durch den Hilbert-Raum des Spinzustands (?)

Woher wissen wir (experimentell und theoretisch), dass sich der Spin immer mit dem magnetischen Moment des Elektrons ausrichten muss (vorausgesetzt, das Elektron befindet sich in einem System, in dem sein Bahndrehimpulsbeitrag vernachlässigbar ist)?

Ein kurzer Blick auf die Dirac-Gleichung erklärt nur, warum es Spin gibt (weil dieser entsteht, weil wir Quantenmechanik und Relativitätstheorie zusammensetzen, was zu einer Wellenfunktion mit 4 Komponenten führt), aber es gibt keine Erwähnung seiner Beziehung zum magnetischen Moment