Verstehen von Spinzuständen entlang verschiedener Achsen

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Verstehen von Spinzuständen entlang verschiedener Achsen

Zufälliger Typ

Ich lese ein einführendes Buch über die Quantenmechanik und habe ein Problem damit, ein Konzept zu verstehen, das wahrscheinlich sehr einfach ist. Insbesondere habe ich zwei Fragen.

Mein Buch sagt, dass ein Spin-Zustand als Linearkombination zweier orthogonaler Ket-Vektoren (im Hilbert-Raum) ausgedrückt werden kann. Stellen wir uns einen 3D-Raum mit den drei Achsen vor $x,y,z$ . Wenn wir den Spin entlang messen $z$ und wir bekommen $+1$ , dann nennen wir das Zustand $|u\rangle$ (wie in "oben"). Umgekehrt, wenn wir -1 bekommen, nennen wir diesen Zustand | $d\rangle$ . Wir tun dies mit den anderen Achsen und erhalten die Zustände $|r\rangle$ ("richtig und $|l\rangle$ ("links") für die x-Achse und die Zustände $|i\rangle$ ("in und $|o\rangle$ ("out") für die y-Achse.

Wir wählen dann willkürlich zwei dieser Vektoren aus (obwohl sie orthogonal sein müssen), also dauert mein Buch $|u\rangle$ Und $|d\rangle$ . Jeder Staat $|A\rangle$ lässt sich so ausdrücken:

| A ⟩ = a_{1} | u ⟩ + a_{2} | D ⟩,

$|A\rangle=\alpha_1|u\rangle+\alpha_2 |d\rangle,$ Wo

α_{1}

$\alpha_1$ Und

α_{2}

$\alpha_2$ sind komplexe Zahlen und sind numerisch gleich der Quadratwurzel der Wahrscheinlichkeit, dass man den Spin entlang der z-Achse misst und beobachtet hat

| A ⟩

$|A\rangle$ , erhält man jeweils den Zustand

| u ⟩

$|u\rangle$ oder

| d ⟩

$|d\rangle$ .

Meine erste Frage ist, warum ist das so? Ich meine, warum sind sie Quadratwurzeln und nicht einfach die Wahrscheinlichkeiten? Jedenfalls ist es ziemlich offensichtlich, wenn das der Fall ist

| R ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} | u ⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} | D ⟩,

$|r\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|u\rangle+\frac{1}{\sqrt2} |d\rangle,$ da die Richtung "rechts" orthogonal (räumlich) zu der ist

z

$z$ Achse, also der Spin

+ 1

$+1$ Und

- 1

$-1$ sind gleich wahrscheinlich.

Meine zweite Frage ist zu verstehen, warum mein Buch das dann sagt

| l ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} | u ⟩ - \frac{1}{\sqrt{2}} | D ⟩ .

$|l\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|u\rangle-\frac{1}{\sqrt2} |d\rangle.$ Warum das? Warum gibt es ein Minus? Beim Schreiben der "in"- und "out"-Zustände wird die Sache noch seltsamer (mit dem Erscheinen der imaginären Einheit), aber ich möchte nicht darauf eingehen, bevor ich dies klar verstanden habe. Vielen Dank für Ihre Zeit!

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Verstehen von Spinzuständen entlang verschiedener Achsen

Benutzer139561 · Answer 1

Lesen Sie Susskinds QM Theoretical Minimum?

Wenn Sie es sind, ist es sowieso in allen Büchern dasselbe Prinzip, aber denken Sie daran, dass Susskind zwei Basisvektoren hat, nach oben und nach unten, und er möchte (links und rechts) und (ein und aus) in Form von Kombinationen aus diesen ausdrücken Aufwärts- und Abwärtsvektoren.

Die einzige Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, lineare Kombinationen von oben und unten zu verwenden und das Gefürchtete zu verwenden $i$ . Um es zu testen, sehen Sie, was Sie erhalten, wenn Sie links mit rechts usw. multiplizieren, indem Sie die Dirac-Notation verwenden und sich an die Regeln für orthogonale Kets und BHs erinnern. Es erfordert ein wenig Übung, da Sie 3 verschiedene Dinge gleichzeitig lernen.

Meine erste Frage ist, warum ist das so? Ich meine, warum sind sie Quadratwurzeln und nicht einfach die Wahrscheinlichkeiten?

Was passiert, wenn Sie das Quadrat einer Quadratwurzel erhalten?

Die Überlagerungen enthalten Amplituden, keine Wahrscheinlichkeiten. Dies gibt uns mehr Freiheit, solange wir zu reellen Zahlen zurückkehren können.

Die Koeffizienten $\alpha$ sind Amplituden, keine Wahrscheinlichkeiten, also können sie komplexe Zahlen sein, die, wenn sie quadriert werden, echte Wahrscheinlichkeiten erzeugen. Ob die Amplituden komplex oder reell sind, sie müssen reelle Zahlen als Wahrscheinlichkeiten erzeugen, eine Wahrscheinlichkeit von 1/4 $i$ ist bedeutungslos.

Meine zweite Frage ist zu verstehen, warum mein Buch das dann sagt
$| l ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} | u ⟩ - \frac{1}{\sqrt{2}} | D ⟩ .$ $|l\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|u\rangle-\frac{1}{\sqrt2} |d\rangle.$ Warum das? Warum gibt es ein Minus?

Sie sind in Ihrer Auswahl an Kombinationen von oben und unten begrenzt, um die andere orthogonale Achse auszudrücken, und lineare Überlagerungen sind zulässig, sodass ein Minus so gut wie ein Plus ist.

Es ist wichtig, dass Sie den Unterschied zwischen Amplituden, die komplexe Zahlen zulassen, und Wahrscheinlichkeiten, die dies nicht zulassen, verstehen. Sie gehen von Amplituden zu Wahrscheinlichkeiten, unter der Bedingung, dass Wahrscheinlichkeiten 1 betragen müssen.

> "Ein Minus ist also genauso gut wie ein Plus." Bedeutet dies, dass die für |r> erhaltenen Werte unabhängig von den für |l> erhaltenen Werten sind? (Entschuldigung, ich schreibe von meinem Handy)

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Benutzer139561

Blaumönch

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