Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron eines Atoms auf der Erde außerhalb der Galaxie liegt?

Die Größe, die Sie zuerst berücksichtigen sollten, ist der Bohr-Radius , dieser gibt Ihnen eine Vorstellung von den relevanten atomaren Skalen,

$$a_0 = 5.29\times 10^{-11} ~{\rm m}$$

Für Wasserstoff (das am häufigsten vorkommende Element) in seinem Grundzustand die Wahrscheinlichkeit , ein Elektron jenseits einer Entfernung zu finden$r$von der Mitte sieht so aus (z$r \gg a_0$)

$$P(r) \approx e^{-2r/a_0}$$

Lassen Sie uns nun einige Zahlen einsetzen. Der Virialradius der Milchstraße ist rund$200 ~{\rm kpc} \approx 6\times 10^{21}~{\rm m}$, also ist die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron außerhalb der Galaxie von einem Atom auf der Erde zu finden, etwa

$$P \sim e^{-10^{32}}$$

das ist ... ziemlich niedrig. Aber man muss nicht so weit gehen, um diesen Effekt zu zeigen, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron eines Atoms in Ihrem Fuß in Ihrer Hand zu finden ist$\sim 10^{-10^{10}}$.

Was im Video gesagt wird, ist wahr, aber ... denken Sie daran, dass die Atomtheorie genau das ist: eine Theorie. Die Theorie selbst sagt voraus, dass Störungen einen wirklich großen Einfluss auf die Ergebnisse haben werden.

Berücksichtigen Sie, dass die Modelle auf Hypothesen basieren, die leicht verletzt werden können. Zum Beispiel Kugelsymmetrie, die es ermöglicht, die Lösung im Wasserstoffatom (oder genauer gesagt im Coulomb-Potential in QM) zu finden. Die Realität ist niemals so, aber wir können sagen, dass „sie nahe genug ist“, wenn das Atom weit genug von anderen Objekten entfernt ist.

Trotzdem gibt es von hier bis außerhalb der Milchstraße so viele Störungen, dass das Modell einfach versagen würde. Man kann sagen, dass es eine Ebene gibt$n=1324791$, aber es gibt so viele Teilchen da draußen, dass die Wirkung Ihres Atoms von JEDEM anderen absolut übertroffen wird.

Ist es also wirklich sinnvoll, eine solche Wahrscheinlichkeit zu berechnen, wenn irgendetwas dieses Elektron viel leichter einfangen kann? Ich glaube nicht.

Die Art und Weise, wie Sie Ihre Frage formulieren, verstößt gegen die Quantenmechanik: Zu sagen, "es muss einen Teil aller Atome auf der Erde geben, deren Elektron außerhalb der Milchstraße liegt", ist keine Aussage, die innerhalb der Quantenmechanik Sinn macht. Was Sie fragen können und was andere geantwortet haben, sind Variationen der Frage, wie wahrscheinlich es ist, ein gebundenes Elektron in galaktischen Entfernungen von dem Kern zu finden, an den es gebunden ist.

Ich betone diesen Punkt, den wir normalerweise als Semantik abtun würden, weil diese Unterscheidung es leichter macht zu verstehen, dass es einen zweiten Weg gibt, in dem Ihre Frage nicht viel Sinn macht, außer als Übung in der Numerik von Exponentialfunktionen: Elektronen sind nicht zu unterscheiden. Woher wissen Sie, dass das Elektron, an dem das Photon Ihrer Messapparatur gestreut wird, „das“ Elektron ist, das zum Atom gehört? Die Antwort ist, dass Sie es nicht können, wenn Sie nicht wissen, dass keine anderen Elektronen in der Nähe sind. Sie müssten also Ihr Atom in einer Falle halten, deren Vakuum so groß ist, dass die mittlere freie Weglänge den Radius Ihres angeregten Atoms um mehrere Größenordnungen überschreitet, was bedeutet, dass die Falle gleich groß ist. Eigentlich würdest duviele , viele Größenordnungen größer. Warum? Weil jedes andere Elektron im Universum eine nicht verschwindende Wahrscheinlichkeit hat, in Ihrer Falle gefunden zu werden, und es gibt viele , viele Elektronen. Sie möchten, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit, ein streunendes Elektron zu treffen, ausreichend klein ist, um Ihr Experiment nicht zu stören. Andernfalls können Sie das Elektron, das Ihr Messphoton gestreut hat, nicht dem spezifischen Atom zuordnen, das Sie interessiert. Schließlich sucht man nach einem Elektron keineswegs wie nach einem Heizkissen.

Bearbeiten: Ich möchte zwei Dinge hinzufügen, die von Interesse sein könnten, wenn Sie tiefer in Elektronen weit vom Kern eintauchen möchten.

Erstens können Sie tatsächlich direkte Messungen der Elektronenwolken von Wasserstoff finden, siehe auf dieser Stackexchange-Seite: Gibt es eine experimentelle Bestätigung der s-, p-, d-, f-Orbitalformen? Dies zeigt, abgesehen von der schrecklichen Farbgebung im Artikel, den rapiden Abfall der Wahrscheinlichkeiten mit zunehmender Entfernung.

Zweitens werden Atome, bei denen die Elektronen weit vom Kern entfernt sind, aktiv erforscht. In diesen sogenannten Rydberg-Atomen werden die Elektronen auf Energieniveaus knapp unterhalb der Ionisation angeregt, wo aktuelle Versuchsanordnungen nahe genug an die Ionisation herankommen können, um Atomradien zu erreichen$r \sim \textrm{const.}/\Delta{}E \sim 100 \mu m$mit$\Delta E$die Ionisationsenergie. Das ist noch weit entfernt von galaktischen Entfernungen, aber diese Experimente zeigen, dass die Quantenmechanik tatsächlich ein paar Größenordnungen näher an den Längenskalen arbeitet, an denen Sie interessiert sind.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein einzelnes Elektron außerhalb der Milchstraße befindet? Wir können es mit der Grundzustandswellenfunktion des Wasserstoffatoms abschätzen,

$$\psi_{100} = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} e^{-r/a_0} ,$$ Wo$a_0 \approx 5*10^{-11}\, m$ist der Bohr-Radius.$|\psi|^2$ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, die Integration ergibt $$p_1 = \int_R^\infty |\psi_{100}|^2 4\pi r^2\, dr = \frac{e^{-2R/a_0}(a_0^2 + 2a_0 R + 2R^2)}{a_0^2} .$$ Einstecken$R \approx 5*10^{20}\, m$den Radius der Milchstraße erhalten wir $$p_1 \approx \exp(-2*10^{31}) \approx 10^{-10^{31}} .$$

Diese Zahl ist so klein, dass es kaum möglich ist, wirklich zu erfassen, wie klein sie ist. Es gibt viele Elektronen auf der Erde - ungefähr$N = 10^{51}$- aber die Anzahl der Elektronen ist im Vergleich zu diesen Chancen absolut winzig. Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Elektron außerhalb der Milchstraße gefunden wird, ist groß

$$p = 1 - (1 - p_1)^N \approx N p_1 = 10^{51} \, \cdot \, 10^{-10^{31}}$$ das macht nicht mal was her.

Es wird behauptet, dass Elektronen ihren Atomkern nicht auf bekannten festen Bahnen umkreisen, sondern in „Wahrscheinlichkeitswolken“, dh Räumen um den Kern, in denen sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegen können, sogenannten „Orbitalen“.

Ich nehme an, Sie werden nicht überrascht sein zu hören, dass Ihr fünfminütiges YouTube-Video die Situation grob vereinfacht, die meisten Details beschönigt und obendrein ein wenig irreführend ist. Richtig ist allerdings, dass das Modell von Elektronen, die Atomkerne umkreisen wie Planeten einen Stern, nicht alle unsere Beobachtungen hinreichend erklärt. Das im Video beschriebene Atomorbitalmodell ist in dieser Hinsicht besser, daher wahrscheinlich näher an der Realität, obwohl es auch nicht zu 100% korrekt ist - es reicht selbst für die einfachsten Moleküle nicht aus.

Aber es ist wichtig zu verstehen, dass sich das Atomorbitalmodell immens vom Modell der umlaufenden Elektronen unterscheidet. Ein "Orbital" sollte nicht so interpretiert werden, dass es einem "Orbit" auch nur oberflächlich ähnlich ist, außer in seiner Schreibweise. Insbesondere das Video scheint Ihnen die Idee gegeben zu haben, dass sich ein Elektron in einem Atomorbital zu jeder Zeit an einem genauen Ort befindet, aber wir wissen nur nicht genau, wo. Dies scheint ein großer Teil der Inspiration für die Frage zu sein.

Eine sinnvollere Betrachtungsweise ist, dass ein Elektron, solange es nicht durch Beobachtung lokalisiert wird, über das gesamte Universum delokalisiert ist – aber nicht gleichmäßig. Aus dieser Perspektive ist die einem Atomorbital entsprechende Dichtefunktion keine Wahrscheinlichkeitsdichte für den Ort des Elektrons, sondern eher eine Massen- und Ladungsdichtefunktion, die seine Delokalisierung beschreibt. Bei der 95%-Grenze, die das Video erwähnt, geht es in diesem Sinne nicht darum, wo Sie das Elektron finden könnten, sondern darum, wie viel von dem Elektron Sie finden.

Diese Zahl von 95 % ist übrigens nur eine Konvention. Es ist hilfreich, eine Grenze zu wählen, um über die Position (im weitesten Sinne) von Elektronen nachzudenken und sie darzustellen, und diese bestimmte Zahl erweist sich aus verschiedenen Gründen als geeignet für diesen Zweck.

Es wird auch behauptet, dass diese Wahrscheinlichkeit umso mehr abnimmt, je weiter man vom Kern nach dem Elektron sucht, aber sie erreicht nie 0. Die Autoren des Videos schlussfolgern, dass es eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null gibt, dass ein Atom sein Elektron hat „auf der anderen Seite des Universums“.

Es ist wahr, dass, egal ob Sie die Atombahndichte als Wahrscheinlichkeitsdichte oder als Massen-/Ladungsdichte oder beides betrachten, sie nirgendwo genau auf Null fällt, selbst Tausende von Lichtjahren vom Kern entfernt. Aber es kommt so nahe, dass es keinen praktischen Unterschied macht.

Aber was noch wichtiger ist, die Frage ist strittig. Das Atomorbitalmodell – das nur ein Modell ist, denken Sie daran – berücksichtigt nur ein einzelnes Atom. Selbst wenn es für diesen Fall genau richtig wäre, enthält das reale Universum viel, viel mehr, in weit, weit geringeren Entfernungen. Das Atomorbitalmodell erhebt nicht den Anspruch, bei solchen Entfernungsskalen im realen Universum anwendbar zu sein. Wenn wir jemals feststellen würden, dass sich ein bestimmtes Elektron zu einem bestimmten Zeitpunkt in einer solchen Entfernung von einem bestimmten Kern befindet, würden wir daraus schließen, dass das Elektron nicht an diesen Kern gebunden ist (und daher das Atomorbitalmodell nicht auf das Paar zutrifft). ), weil sehr viele andere Kerne, Elektronen und andere Dinge stärker mit unserem gewählten Elektron wechselwirken würden als unser gewählter Kern.

Wenn das stimmt, dann muss es einen Teil aller Atome auf der Erde geben, deren Elektron außerhalb der Milchstraße liegt.

Nicht so. Auf der Erde gibt es eine endliche Anzahl von Atomen mit einer endlichen Anzahl von Elektronen. Wenn wir die Elektronen als lokalisierte Einheiten betrachten, so dass es sinnvoll ist, von bestimmten Orten zu sprechen, dann gibt es eine große Anzahl von Konfigurationen dieser Elektronen, so dass sich keines außerhalb der Milchstraße befindet. Daher ist es nicht notwendig, dass außerhalb der Milchstraße ein Anteil von Erdelektronen ungleich Null vorhanden ist.

Welcher Teil der Atome hat diese Eigenschaft?

Da dies ein probabilistisches Argument ist, nehme ich an, dass Sie nach dem erwarteten (im statistischen Sinne) Anteil fragen . Eine andere Antwort hat die Wahrscheinlichkeit, ein bestimmtes Erdelektron außerhalb der Milchstraße zu finden, auf etwa e ^{-10 32} berechnet . Das wäre der erwartete Anteil. Um es etwas ins rechte Licht zu rücken, aber es gibt in der Größenordnung von 10 ⁵⁰ Erdelektronen . Wenn wir davon ausgehen, dass die Positionen der Elektronen nicht miteinander korreliert sind, dann ist das Produkt dieser beiden Zahlen die Anzahl der Erdelektronen, die wir außerhalb der Galaxie erwarten.

Das wäre e ^{50log10 - 10 32 , was sich kaum von e -10 32} unterscheidet , das sich kaum von Null unterscheidet. Wir erwarten also in sehr guter Näherung genau 0 Erdelektronen außerhalb der Milchstraße. Selbst wenn die vereinfachenden Annahmen in dieser Berechnung einen erheblichen Fehler einführen, müssen wir mit vielen, vielen Größenordnungen spielen, bevor wir die Nadel merklich von Null wegbewegen.

Ich möchte einige Themen zusammenführen, die hier bereits erwähnt wurden, aber ich möchte die Ideen anders formulieren.

Die Idee, dass ein Wasserstoffatom durch eine Ein-Kern-Ein-Elektronen-Wellenfunktion beschrieben werden kann, nämlich

$$\psi ( r_{nucleus}, r_{electron})$$ ist eine Näherung, die nur gültig ist, wenn die Auswirkungen jedes anderen Atoms im Universum vernachlässigt werden können. Wenn ich zwei eng wechselwirkende Wasserstoffatome habe, muss ich eine Wellenfunktion mit zwei Kernen und zwei Elektronen untersuchen $$\psi ( r_{nucleus 1}, r_{nucleus 2}, r_{electron 1}, r_{electron 2} )$$ und berücksichtigen Sie alle quantenmechanischen Symmetrien, die gelten, weil alle Elektronen nicht unterscheidbar und Fermionen sind. Unter anderem werde ich durch das Studium dieser zweiten Wellenfunktion entdecken, dass zwei Wasserstoffatome manchmal besser als ein Diwasserstoffmolekül beschrieben werden können! Etwas qualitativ völlig anderes als isolierte Atome. Dies ist ein sehr wichtiges Ergebnis der Quantenmechanik und Quantenchemie.

Wenn wir bedenken, dass jedes gegebene Elektron und jeder gegebene Kern sehr weit voneinander entfernt sein können und dass es sehr viele andere Atome zwischen ihnen geben kann, müssen wir unsere Wellenfunktion erweitern, um alle Kerne und alle Elektronen zu berücksichtigen. Unsere Lösungen sehen möglicherweise überhaupt nicht wie die von isolierten Wasserstoffatomen aus. Am wichtigsten ist, dass wir die Fähigkeit verlieren, ein bestimmtes Elektron definitiv mit einem bestimmten Kern zu assoziieren.

Infolgedessen ist die Aussage, dass ein Atom in meiner Nähe jetzt "sein Elektron" auf der anderen Seite der Galaxie hat, keine wohldefinierte Aussage in der Quantenmechanik.

Es ist jedoch sicherlich mathematisch sinnvoll, ein Universum mit nur einem Kern und nur einem Elektron zu hypothetisieren und die (entfernte) Wahrscheinlichkeit zu diskutieren, dass sie in jedem gegebenen Quantenzustand durch eine Entfernung im galaktischen Maßstab getrennt sind. Einige andere Antworten geben diese Zahlen an. Aber das ist nicht unser Universum.