Gibt es tatsächlich eine Wahrscheinlichkeit von 0, ein Elektron in einem Orbitalknoten zu finden?

Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einem bestimmten Volumen zu finden$V$wird gegeben von:

$$P = \int_V \psi^*\psi\,dV \tag{1}$$

Das heißt, wir konstruieren die Funktion namens Wahrscheinlichkeitsdichte :

$$F(\mathbf x, t) = \psi^*\psi$$

und integrieren Sie es über unser Volumen$V$, wobei, wie die Notation andeutet, die Wahrscheinlichkeitsdichte im Allgemeinen eine Funktion des Ortes und manchmal auch der Zeit ist.

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Wahrscheinlichkeit$P$kann sich als Null herausstellen:

1. $F(\mathbf x, t)$überall im Volumen Null ist$V$- Beachten Sie, dass wir keine Positiv-Negativ-Stornierung erhalten können$F$ist ein Quadrat und ist überall$\ge 0$.

2. wir nehmen die Lautstärke$V$auf Null, dh wie für die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an einem Punkt zu finden

Nun zurück zu deiner Frage.

Der Knoten ist ein Punkt oder eine Fläche (je nach Knotentyp) also das Volumen der Region, in der$\psi = 0$ist Null. Das bedeutet, dass wir in unsere Gleichung (1) setzen müssen$V=0$und wir bekommen$P=0$also ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron am Knoten zu finden, null. Aber (und ich vermute, das ist der Punkt Ihrer Frage), dies ist ein triviales Ergebnis, denn wenn$V=0$wir enden immer mit$P=0$und unser Ergebnis hat keine besondere physikalische Bedeutung.

Angenommen, wir nehmen stattdessen ein kleines Volumen, das jedoch nicht Null ist$V$um einen Knoten zentriert. Irgendwo in unserem Volumen wird die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zwangsläufig nicht Null sein, weil sie nur an einem Punkt oder einer Knotenebene Null ist, und das bedeutet, wenn wir integrieren, erhalten wir immer ein Ergebnis ungleich Null. Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in der Nähe eines Knotens zu finden, ist also immer größer als Null, selbst wenn wir unter nah einen winzigen, winzigen Abstand verstehen.

Die Aussage, dass die Wahrscheinlichkeit, das Elektron an einem Knoten zu finden, gleich Null ist, ist also entweder leer oder falsch, je nachdem, ob Sie sie so interpretieren, dass sie genau an einem Knoten oder ungefähr an einem Knoten bedeutet .

Aber ich vermute, die meisten Physiker würden dies als etwas dumme Diskussion ansehen, weil wir im Allgemeinen meinen würden, dass die Wahrscheinlichkeit, das Elektron an einem Knoten oder einer Knotenoberfläche zu finden, verschwindend gering ist im Vergleich zu der Wahrscheinlichkeit, es an anderer Stelle im Atom zu finden.

Sie haben ganz recht: Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron an einem beliebigen Punkt (oder auf einer bestimmten Oberfläche) zu finden, ist null. Trotzdem macht die Aussage Sinn: Was sie wirklich bedeutet, ist ungefähr Folgendes.

Betrachten Sie eine Kiste$V$mit Breite/Tiefe/Höhe$(w,d,h)$. Wenn all diese klein genug sind, dass sich die Wellenfunktion im gesamten Feld nicht wesentlich ändert , können Sie eine Annäherung vornehmen

$$P = \int_V\!\mathrm{d}V\, |\psi(\mathbf r)|^2 \approx |V| \cdot |\psi(\mathbf r_c)|^2 = w\cdot d\cdot h \cdot |\psi(\mathbf r_c)^2|$$ wo $\psi(\mathbf r_c)$ist die Wellenfunktion, die (sagen wir) in der Mitte der Box ausgewertet wird. Wenn nun dieser Punkt zufällig innerhalb einer Knotenebene liegt, ergibt die obige Annäherung Null.

Genau genommen ist das natürlich einfach falsch: Im Grunde bricht die Approximation zusammen, da es in der Taylorentwicklung keinen nullten Term gibt, daher wird der dominante Term auch auf einem beliebig kleinen Bereich zum linearen. In dieser geeigneteren Näherung würden Sie jedoch immer noch „praktisch Null“ als Ergebnis erhalten: Angenommen, die Knotenebene liegt in xy-Richtung und$h$misst in z-Richtung. Dann wird das Integral

$$\begin{aligned} P \approx&\, w\cdot d\cdot \int\limits_{-h/2}^{h/2}\!\!\mathrm{d}z\,|\psi(\mathbf r_c + z\cdot \mathbf{e}_\mathrm{z})|^2 \\ \approx&\, w\cdot d\cdot \int\limits_{-h/2}^{h/2}\!\!\mathrm{d}z\,\left|z\cdot\frac{\partial\psi}{\partial z}\Bigr|_{\mathbf{r}_c}\right|^2 \\ =&\, w\cdot d\cdot \left|\frac{\partial\psi}{\partial z}\Bigr|_{\mathbf{r}_c}\right|^2 \cdot \int\limits_{-h/2}^{h/2}\!\!\mathrm{d}z\,(z^2) \\ =&\, w\cdot d\cdot \left|\frac{\partial\psi}{\partial z}\Bigr|_{\mathbf{r}_c}\right|^2 \cdot \frac23 \left(\frac{h}2\right)^3 \propto h^3 \end{aligned}$$ so wie du es machst $h$klein, so nimmt die Wahrscheinlichkeit nicht nur proportional zum Volumen ab, sondern mit der dritten Potenz, ist also sehr klein.