Warum kann man im Kern keine Elektronen finden, wenn es unendlich viele Orbitale gibt?

Nehmen wir an, das Elektron, das wir betrachten, befindet sich in einem Orbital, das durch die Wellenfunktion beschrieben wird$\psi$. Wenn wir uns ein kleines Volumenelement ansehen$dV$dann ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in diesem Volumenelement zu finden:

$$P = \psi^*\psi \, dV$$

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, das Elektron im Kern zu finden, verwenden wir Polarkoordinaten und als unser Volumenelement$dV$Wir nehmen das Volumen einer Kugelschale mit Radius$r$und Breite$dr$. Das Volumen dieses Elements ist:

$$dV = 4\pi r^2 dr$$

also ist die Wahrscheinlichkeit:

$$P = \psi^*\psi \, 4\pi r^2 dr$$

Wenn der Radius des Kerns ist$R$, dann erhalten wir die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Kern zu finden, einfach durch Integration von$r = 0$Zu$r = R$:

$$P = \int_0^R \psi^*\psi \, 4\pi r^2 dr$$

Und dieses Integral hat im Allgemeinen eine Größe ungleich Null, dh die Wahrscheinlichkeit, das Elektron innerhalb des Kerns zu finden, ist ungleich Null.

Wir wissen, dass das Elektron eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null hat, sich im Kern zu befinden, weil es in einigen Fällen mit einem Proton in einem Prozess reagieren kann, der als Elektroneneinfang oder inverser Beta-Zerfall bezeichnet wird.