Was ist Wahrscheinlichkeitsstrom in der Quantenmechanik?

Die Gesamtwahrscheinlichkeit aller sich gegenseitig ausschließenden Alternativen muss immer 100 % betragen, ist also erhalten. Die Erhaltungssätze in der Raumzeit sind tendenziell "lokal", also können wir, genau wie für die Ladungserhaltung, die Erhaltung der Wahrscheinlichkeit in der Schrödinger-Gleichung aus der lokalen Kontinuitätsgleichung ableiten

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf \nabla \cdot \mathbf j = 0$$ Also die Wahrscheinlichkeit $\rho$in einem kleinen Kästchen genau um den Betrag abnimmt, der als Fluss des Wahrscheinlichkeitsstroms durch die sechs Seiten des kleinen Kästchens (durch seine Begrenzung) nach dem Satz von Gauß berechnet werden kann. Es ist nützlich, die Form des Vektors zu kennen $\vec j$das erlaubt uns, die obige Kontinuitätsgleichung zu erfüllen.

Aber der Wahrscheinlichkeitsstrom hat eine viel direktere Interpretation. Stellen Sie sich vor, Sie hätten eine fotografische Platte, die ein auf die Platte treffendes Teilchen garantiert absorbiert (dh jede Reflexion unmöglich macht). Dann die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, dass das Teilchen wirklich von der Oberfläche absorbiert wird$\Sigma$(und einen "Punkt" irgendwo auf dieser Oberfläche erzeugen) ist gegeben durch

$$\frac{dP_{\rm absorb}}{dt} = \int_\Sigma d\vec S \cdot \vec \jmath$$ mit der richtigen Vorzeichenkonvention für die Vektoren. Auch wenn man die einfache Frage ausrechnet, wie dicht die Punkte auf einer Platte im Doppelspaltexperiment sein werden, ist der Wahrscheinlichkeitsstrom dafür direkt relevant. Etwas schlampig könnte man sich vorstellen, dass die Verteilung der Punkte übereinstimmt $\rho$. Aber es ist viel genauer, dass es passt $j_n$, die Normalkomponente (zur Platte) des Wahrscheinlichkeitsstroms. Diese beiden Funktionen von $x,y$sind nur proportional zueinander unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit des Teilchens überall "konstant" ist. Wenn nicht, $j_n$gibt die korrektere Darstellung der "Dichte der Punkte" als $\rho$.

Um die großartige Antwort von @Luboš Motl zu ergänzen, möchte ich nur die Verbindung zum elektrischen Strom und zur elektrischen Ladungsdichte aus der Elektrodynamik erwähnen, mit der Sie vielleicht besser vertraut sind.

Beachten Sie, dass die Wahrscheinlichkeit einheitenlos ist, also hat die Wahrscheinlichkeitsdichte die Einheit 1/Volumen und der Wahrscheinlichkeitsstrom hat die Einheit 1/Fläche*Zeit. Dies sind die gleichen Einheiten wie die elektrische Ladungsdichte und der elektrische Strom bis auf einen Faktor der elektrischen Ladung. In der Tat, wenn Sie diese Größen mit einer elektrischen Ladung Q multiplizieren, erhalten Sie völlig vernünftige elektrische Ladungsdichten und elektrische Ströme, die die Kontinuitätsgleichung für die Elektrodynamik erfüllen (die dieselbe Form wie die oben angegebene hat, außer dass$\rho$und$\textbf{j}$werden als relevante Größen in der Elektrodynamik interpretiert, nicht in der Quantenmechanik.

Außerdem, wenn Sie rechnen$p$und$\textbf{j}$für das Elektron in einem Wasserstoffatom (Teil jedes ersten Kurses in Quantenmechanik) und multipliziere sie mit$e$der elektrischen Grundladung erhalten Sie die zugehörige elektrische Ladungsdichte und den elektrischen Strom für Wasserstoff. Wenn Ihnen dies nicht bemerkenswert erscheint, versuchen Sie, den Bohrradius und den gerade berechneten elektrischen Strom zu verwenden, um das magnetische Dipolmoment von Wasserstoff zu berechnen:$\mu = I A$. Es kommt ziemlich nah an den tatsächlichen Wert heran! Diese Interpretation des Wahrscheinlichkeitsflusses als Erzeugung eines "probabilistischen elektrischen Stroms" ist also tatsächlich sinnvoll, da sie eine heuristische Annäherung an das reale magnetische Dipolmoment von Wasserstoff liefert.

Letzter Kommentar: Schrödinger entwickelte seine berühmte Gleichung tatsächlich durch den Versuch, solche Probleme in der Elektrodynamik anzugehen. Die ursprüngliche Wellenfunktion hatte tatsächlich Einheiten von$\sqrt{\frac{Q}{P}}$wobei Q die Ladung und P die Wahrscheinlichkeit ist. Erst später erkannte er die größere Aussagekraft seines Ergebnisses und ließ den Ladefaktor fallen.