Nichtexistenz einer Wahrscheinlichkeit für die Klein-Gordon-Gleichung

David Bohm diskutiert in seiner wunderbaren Monographie Quantum Theory in Abschnitt 4.6 die Schwierigkeiten, auf die man stößt, wenn man versucht, eine relativistische Quantenmechanik zu entwickeln. Er geht von der Relation aus

ℏ 2 ω 2 = M 2 C 4 + ℏ 2 k 2 C 4
(was der klassischen Beziehung entspricht E 2 = M 2 C 4 + P 2 C 2 ), aus der man (indem man wie in Abschnitt 3.19 vorgeht) die Gleichung zweiter Ordnung ( Klein-Gordon-Gleichung ) ableitet:
∂ 2 ψ ∂ T 2 = C 2 Δ ψ − M 2 C 4 ℏ 2 ψ .
Dann versucht er, eine Wahrscheinlichkeitsfunktion zu definieren P einbeziehen ψ und seine Teilantriebe ∂ ψ ∂ T , ∂ ψ ∂ X ich :
P ( X , T ) = ℏ 2 | ∂ ψ ∂ T | 2 + ℏ 2 C 2 | ∇ ψ | 2 + M 2 C 4 | ψ | 2 ,
was ersichtlicherweise ein Integral hat ∫ P ( X , T ) D X die über die Zeit konserviert wird. Wie auch immer, Bohm sagt, dass diese Funktion keine physikalisch akzeptable Wahrscheinlichkeit hervorruft, da, wenn wir zB wählen ψ = exp ⁡ ich ( E T − P ⋅ X ℏ ) , wir bekommen
P ( X , T ) = E 2 + P 2 C 2 + M 2 C 4 = 2 E 2 ,
so dass P verhält sich wie die (4,4)-Komponente eines Rang-2-Tensors. Daraus schließt er, dass unter einer Lorentz-Transformation das Integral ∫ P ( X , T ) D X transformiert sich wie eine Energie, also wie die vierte Komponente eines Vierervektors, ist also nicht invariant (für einen Beweis der letzten Aussage siehe meinen Beitrag Tensors and the Klein-Gordon Equation ).

Bohm stellt dann ohne Beweis fest, dass es nicht möglich ist, eine (vernünftige) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zu definieren , indem man die Lösung verwendet ψ der obigen Wellengleichung und ihrer partiellen Ableitungen, die unter der Lorentz-Transformation invariant ist.

Kennt jemand einen zwingenden Grund, warum dies wahr ist?

So ziemlich alle einführenden Vorlesungsnotizen zur QFT erklären die Probleme, die mit der Verwendung dieser Gleichung verbunden sind. Wenn Sie Michael Luke, David Tong oder M. Srednicki googeln, decken die PDF-Versionen ihrer Vorträge alle dies in den ersten drei Kapiteln ab.

Antworten (1)

Ich habe entdeckt, dass Kazemi, Hashampour und Barati in ihrer Arbeit Wahrscheinlichkeitsdichte relativistischer spinloser Teilchen im eindimensionalen Fall erfolgreich eine physikalisch akzeptable Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Klein-Gordon-Gleichung gefunden haben. Diese Wahrscheinlichkeitsfunktion erfüllt alle Eigenschaften einer sinnvollen Wahrscheinlichkeitsfunktion, und insbesondere ist ihr Integral Lorentz-invariant.

Jedenfalls widerlegt diese Wahrscheinlichkeitsfunktion die Aussage von Bohm nicht, da P ( X , T ) hängt nicht davon ab ψ ( X , T ) und die Werte der partiellen Ableitungen von ψ eingerechnet ( X , T ) , aber es ist eine Funktion von ψ , das heißt, es kommt auf die Gesamtfunktion an ψ . Diese Wahrscheinlichkeitsfunktion ist also kein Gegenbeispiel zu Bohms Aussage.

Schließlich habe ich eine sehr interessante Arbeit Uniqueness of conserved currents in quantum mechanics von Peter Holland gefunden, der zeigt, dass ein im Wesentlichen einzigartiger konservierter Viervektorstrom existiert J existiert für die Klein-Gordon-Gleichung, die kovariante Komponenten hat

J μ = ich ℏ 2 M ( ψ ∗ ∂ μ ψ − ψ ∂ μ ψ ∗ ) .

Dieser Strom entspricht dem üblicherweise für die Klein-Gordon-Gleichung definierten. Seine Dichtekomponente ist P = ich ℏ 2 M ( ψ ∗ ∂ ψ ∂ T − ψ ∂ ψ ∗ ∂ T ) , wir sehen das P befriedigt die Eigenschaft nicht P ≥ 0 so dass die Aussage von Bohm folgt.

Wir müssen jedenfalls bemerken, dass Holland das in seinem Beweis annimmt J hängt nur davon ab ψ und ihre ersten Ableitungen, was eine Annahme ist, die nicht explizit von Bohm gemacht wurde, obwohl sie vollkommen plausibel ist (siehe das Argument von Holland in seiner Arbeit, um die Forderung zu rechtfertigen, dass erhaltene Ströme ausschließlich von den „Zustandsvariablen“ abhängen sollten).

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