Tensoren und die Klein-Gordon-Gleichung

Eigentlich die$P(\mathbf{x},t)$Sie erwähnen die 4,4-Komponente des Spannungstensors$T_{ik}$des Feldes Klein-Gordon (KG). Im Folgenden verwende ich stattdessen den metrischen Tensor$\eta_{ik}=diag(1,-1,-1,-1)$und identifizieren$P(\mathbf{x},t)$mit der 0,0-Komponente von$T_{ik}$. Bohm verwendet offenbar die andere Metrik$diag(-1,-1,-1,1)$Konvention. Darüber hinaus$c=1=\hbar$wird angenommen.

Man geht am besten von der Lagrange-Dichte des Komplexes KG aus: (Doppelt vorkommende Indizes werden summiert, d. h. Einstein-Summierungskonvention):

$$L = \partial_i \phi^\star \partial^i \phi - m^2 \phi^\star \phi$$

Für ein komplexes Feld$\phi$Und$\phi^\star$gelten als unabhängige Variablen. Die Definition des Spannungstensors ist gegeben durch:

$$T_{ik}=\sum_{\varphi}\varphi_{,k}\frac{\partial L}{\partial \varphi^{,i}} -L\eta_{ik}$$

mit$\varphi = (\phi, \phi^\star)$.

Setzt man den Ausdruck für die Lagrange-Dichte des KG-Feldes in die Definition des Spannungstensors ein, erhält man:

$$T_{ik} = \partial_i\phi^\star \partial_k\phi + \partial_k\phi^\star \partial_i\phi -L\eta_{ik}$$

Die Tensor-Eigenschaft von$T_{ik}$ist ziemlich offensichtlich, wie die partiellen Ableitungen$\partial_i$bzw.$\partial_k$wie kovariante Vektoren transformieren und$\eta_{ik}$ist auch ein Tensor. Dies gilt insbesondere für die$(i,k)=(0,0)$-Komponente:

$$T_{00} = 2\frac{\partial\phi^\star}{\partial t}\frac{\partial\phi}{\partial t} -L=\frac{\partial\phi^\star}{\partial t}\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\phi^\star\nabla\phi + m^2\phi^\star \phi\equiv P(\mathbf{x},t)$$

Der 4-Impulsvektor$P_i$Erträge:

$$P_i = \int_{\partial\Omega} T_{ik} d\sigma^k$$

Wo$d\sigma^k$ist das vektorielle Hyperflächenelement, das durch Werte parametrisiert wird$(u,v,w)$:

$$d\sigma_i =\epsilon_{ijkm}\frac{\partial x^j}{\partial u}\frac{\partial x^k}{\partial v}\frac{\partial x^m}{\partial w}du dv dw$$

Wenn nun die Hyperfläche$t=const$als Parameter gewählt wird$(u,v,w)=(x,y,z)\equiv(x^1,x^2,x^3)$kann verwendet werden:

$$d\sigma_i =\epsilon_{ijkm}\delta^j_1\delta^k_2\delta^m_3 dx^1 dx^2 dx^3= \epsilon_{i,1,2,3}d^3x = (d^3x,\mathbf{0})$$

so erhalten wir für diese spezielle Hyperfläche$t=const$:

$$P_i = \int_{t=const} T_{i0} d^3x$$

Das lässt sich zeigen$P_i$auf einer anderen Hyperfläche betrachtet$\partial\Omega$die in Bezug auf die ursprüngliche Hyperfläche Lorentz-transformiert ist$t=const$hat den gleichen Wert, wenn er nach der allgemeineren Formel berechnet wird:

$$P_i = \int_{\partial\Omega} T_{ik} d\sigma^k$$

Aber aufgrund der kovarianten Schreibweise ist das klar$P_i$ein 4-Vektor ist (aber das würde in der gekrümmten Raumzeit nicht mehr gelten) und insbesondere

$$P_0 = \int_{t=const} T_{00} d^3x \equiv \int_{t=const}P(\mathbf{x},t) d^3x$$

die 0-Komponente des 4-Vektors$P_i$(der Impuls 4-Vektor), die Energie des KG-Feldes.