Die Lösung der Klein-Gordon-Gleichung lässt keine Wahrscheinlichkeitsinterpretation zu

Betrachten wir die Lösungen ψ der Klein-Gordon-Gleichung:

( ∂ 2 ∂ T 2 − Δ + M 2 ) ψ ( X ) = 0
und definieren:
ρ = ich 2 M ( ψ ∗ ∂ ψ ∂ T − ∂ ψ ∗ ∂ T ψ ) Und J = − ich 2 M ( ψ ∗ ∇ ψ − ∇ ψ ∗ ψ )
Dann kann man mit ein wenig Algebra zeigen, dass die folgende Kontinuitätsgleichung erfüllt ist:
∂ ρ ∂ T + ∇ ⋅ J = 0

Frage: Ich habe gehört, dass die Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung keine probabilistische Interpretation haben, weil die obige Kontinuitätsgleichung sowohl positive als auch negative Lösungen hat. Warum das? Genauer gesagt, was ist der Zusammenhang zwischen probabilistischen Interpretationen und Kontinuitätsgleichungen? Hat es etwas mit Noethers Theorem zu tun?

Überprüfen Sie "kanonische Quantisierung" und "Dirac Sea", diese Schlüsselwörter sollten Sie irgendwohin führen ...

Antworten (2)

Es macht einfach keinen Sinn, von negativer Wahrscheinlichkeit zu sprechen. Unter dem allgemeinen axiomatischen Rahmen der Wahrscheinlichkeit, den sogenannten Kolmogorov-Wahrscheinlichkeitsaxiomen , ist das erste Axiom Nicht-Negativität.

Was würde es bedeuten zu sagen, dass es eine gibt − 20 % Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in der Region zu finden X ∈ [ X 1 , X 2 ] nach der Messung seiner Position? Genau, nichts!

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Die Beschreibung des Problems durch das OP ist etwas unscharf, daher würde ich hier die Beschreibung klarstellen, die ich an das Problem denke.

Die Definition einer Wahrscheinlichkeitsdichte, die den Wellenfunktionen zugeordnet ist, die die KG-Gleichungen erfüllen und eine Kontinuitätsgleichung zulassen, kann wie folgt gefunden werden

ρ = ich 2 M ( ψ ∗ ∂ ψ ∂ T − ψ ∂ ψ ∗ ∂ T )
mit der Kontinuitätsgleichung
∇ ⋅ J → + ∂ ρ ∂ T = 0
Wo
J → = 1 2 M ich ( ψ ∗ ∇ ψ − ψ ∇ ψ ∗ )

Da die KG-Gleichung eine Gleichung zweiter Ordnung ist, kann man die frei wählen ∂ ψ ∂ T als Teil der Anfangsbedingung – und somit gibt es nichts, um sicherzustellen, dass die angenommene Wahrscheinlichkeitsdichte ρ ist nicht negativ. Darüber hinaus können die KG-Gleichungen, selbst wenn Sie mit sorgfältig ausgewählten Anfangsbedingungen beginnen, die zu einer nicht negativen Anfangswahrscheinlichkeitsdichte führen, das System in einen solchen Zustand entwickeln, dass die Wahrscheinlichkeitsdichten negativ werden. Sehen Sie, diese alte Frage von mir .

Danke für deine Antwort! Ich denke, die Absicht meiner Frage ist es, den Zusammenhang zwischen zu klären ρ Und ψ . Ich meine, die Aussage ist "weil ρ ist also nicht unbedingt positiv ψ hat keine probabilistische Interpretation". Aber warum impliziert das eine das andere?
@MathMath Guter Punkt, nein, die Wahrscheinlichkeitsdichte ist es nicht | ψ | 2 Hier. Es ist der ich / 2 M ( . . . ) Ausdruck, den ich aufgeschrieben habe. Der Grund dafür ist die Wahrscheinlichkeitsdichte und nicht | ψ | 2 liegt daran, dass man keinen Wahrscheinlichkeitsdichtestrom finden kann, der die Kontinuitätsgleichung erfüllt, wenn man nehmen würde | ψ | 2 als Wahrscheinlichkeitsdichte.

Der Satz von Noether sagt uns, dass es eine Kontinuitätsgleichung gibt, die jeder Symmetrie des Systems entspricht. Für die Schrödinger-Gleichung entspricht die globale Phasensymmetrie einer Kontinuitätsgleichung mit einer Größe, die als Wahrscheinlichkeitsdichtestrom interpretiert werden kann. Wenn Sie versuchen, dasselbe für die Klein-Gordon-Gleichung zu tun, stellen Sie fest, dass diese Interpretation nicht richtig sein kann, da sie negative Wahrscheinlichkeiten implizieren würde, die per Definition dessen, was Wahrscheinlichkeiten sind, absurd sind.

Die Lösung der Klein-Gordon-Gleichung lässt keine Wahrscheinlichkeitsinterpretation zu
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