Können die negativen Wahrscheinlichkeiten der Klein-Gordon-Gleichung nicht vermieden werden?

Ich bin auf diese Notizen von Dyson zur relativistischen Quantenmechanik gestoßen. Dort auf S. 3 erwähnt er, dass das Problem mit der Klein-Gordon-Gleichung darin besteht, dass der einzige Weg ist, eine Beziehung herzustellen ψ mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte (die eine Kontinuitätsgleichung hat) zu definieren

ρ = ι 2 m ( ψ ∗ ∂ ψ ∂ t − ψ ∂ ψ ∗ ∂ t )
mit der Kontinuitätsgleichung
∇ ⋅ j → + ∂ ρ ∂ t = 0
wo
j → = 1 2 m ι ( ψ ∗ ∇ ψ − ψ ∇ ψ ∗ ) .
Er sagt, dass das Problem bei einer solchen Wahrscheinlichkeitsdichte darin besteht, dass beides ist, da die Klein-Gordon-Gleichung eine Gleichung zweiter Ordnung ist ψ und ∂ ψ ∂ t stellen die Anfangsbedingung dar und sind daher willkürlich - was zu den unvermeidlichen negativen Wahrscheinlichkeitsdichten führt.

Aber kann man die Forderung nach einer positiven Wahrscheinlichkeitsdichte nicht als Einschränkung der Anfangsbedingungen selbst auffassen? Wie in der Speziellen Relativitätstheorie ist die Geschwindigkeit eines Teilchens ein Teil der Anfangsbedingung, aber die Theorie schränkt ein, welche Art von Anfangsbedingungen man haben kann. Können wir nicht auch die Form der Anfangsbedingung einschränken, um sicherzustellen, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte nicht negativ ist?

Haben Sie Grund zu der Annahme, dass die Bedingung "keine negativen Wahrscheinlichkeiten in der Anfangsbedingung" durch die Zeitentwicklung erhalten bleibt?
Okay, nicht daran gedacht. Sollte es ausreichen, eine Reihe von Anfangsbedingungen ohne negative Dichten zu haben, die den nicht-negativen Charakter durch die Zeitentwicklung bewahren? Oder sollten alle Anfangsbedingungen, die nicht-negative Dichten haben, den nicht-negativen Charakter der Dichten durch die Zeitentwicklung bewahren?

Antworten (1)

Ich werde in der arbeiten + − − − Konvention also k ⋅ x − k 0 t = − k ⋅ x . Das solltest du finden ψ = exp ⁡ ∓ ich k x erhält j μ = ± m − 1 k μ . Komplexe Konjugation von ψ gibt immer noch eine Lösung für die KGE (der TDSE funktioniert so nicht) und ändert die Vorzeichen von Energie und Wahrscheinlichkeit. Das Problem beim Versuch, die Hälfte der Lösungen wegzuzaubern, besteht darin, dass die Invarianz unter Zeitumkehrung gebrochen wird. Das hängt damit zusammen, dass E 2 = p 2 + m 2 ist unveränderlich unter E → − E .

Die allgemeine Lösung kann als Fourier-Transformation geschrieben werden. Wenn Sie eine Linearkombination von Planarwellenlösungen mit konstanten Koeffizienten so verallgemeinern, dass diese Koeffizienten nach der Quantisierung operatorwertig sind, stoßen Sie auf eine weitere Schwierigkeit: ψ ^ wird nicht hermitesch sein. Behält man hingegen alle Lösungen bei, hat der Integrand zwei Terme: einen mit Vernichtungsoperatoren, den anderen mit Erzeugungsoperatoren. Wenn einer der Begriffe gelöscht wird, ψ wird den Vakuum-BH vernichten, aber nicht den Vakuum-Ket oder umgekehrt, je nach beibehaltener Laufzeit.

Können die negativen Wahrscheinlichkeiten der Klein-Gordon-Gleichung nicht vermieden werden?
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