Spinoren und Wahrscheinlichkeiten von Elektron-Positron-Paaren

Question:

Ein Elektron und ein Positron bewegen sich in entgegengesetzte Richtungen und befinden sich im Spin-Singulett-Zustand. Zwei Stern-Gerlach-Maschinen sind in einer beliebigen Richtung orientiert; eins entlang Einheitsvektor$\hat{s}_1$(der die Position des Elektrons misst) und einer entlang des Einheitsvektors$\hat{s}_2$(Welches Maß ist die Position des Positrons).

1) Finden Sie die Elektron- und Positronen-Eigenspinoren in Kugelkoordinaten$\theta_1$Und$\phi_1$(dazugehörigen$\hat{s}_1$) Und$\theta_2$Und$\phi_2$(dazugehörigen$\hat{s}_2$).

2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, jedes mögliche Spin-Ergebnis zu erhalten (beide Teilchen oben; Elektron oben, Positron unten usw.), und vereinfachen Sie, indem Sie Richtungskosinusse verwenden, um die Winkel zu ersetzen.

Attempt: Sowohl das Elektron als auch das Positron sind Halbspinteilchen. Lassen Sie uns definieren

$$\hat{s}_1=\hat{i}\sin\theta_1\cos\phi_1+\hat{j}\sin\theta_1\sin\phi_1+\hat{k}\cos\theta_1$$ $$\hat{s}_2=\hat{i}\sin\theta_2\cos\phi_2+\hat{j}\sin\theta_2\sin\phi_2+\hat{k}\cos\theta_2$$

Wenn wir das Elektron betrachten, können wir die Spinmatrix kontrahieren$S_1$, der den Spindrehimpuls entlang der darstellt$\hat{s}_1$Position:

$$S_1=S\cdot \hat{s}_1=S_x\sin\theta_1\cos\phi_1+S_y\sin\theta_1\sin\phi_1+S_z\cos\theta_1$$ $$\rightarrow S_1=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} \cos\theta_1 & e^{-i\phi_1}\sin\theta_1\\ e^{i\phi_1}\sin\theta_1 & -\cos\theta_1 \end{pmatrix}$$

Hier habe ich die Pauli-Matrizen verwendet$S_x$,$S_y$, Und$S_z$. Von hier aus findet man die Eigenwerte zu sein

$$\lambda=\pm \frac{\hbar}{2}$$

Durch Einstecken erhalten wir die normalisierten Eigenspinoren$\chi_+^1$Und$\chi_-^1$, entsprechend den Spin-Up- bzw. Spin-Down-Richtungen:

$$\chi_+^1=\begin{pmatrix} \cos(\theta_1/2) \\ e^{i\phi}\sin(\theta_1/2) \end{pmatrix}$$ $$\chi_-^1=\begin{pmatrix} e^{i\phi_2}\sin(\theta_1/2) \\ -\cos(\theta_1/2) \end{pmatrix}$$

Wir können jetzt den generischen Spinor finden$\chi^1$:

$$\chi^1=\left (\frac{a+b}{\sqrt{2}}\right)\chi_+^{(1)}+\left (\frac{a-b}{\sqrt{2}}\right)\chi_-^{(1)}$$

Würde ich jedoch im Grunde die gleichen Ausdrücke für das Positron erhalten, nur mit anderen Winkeln: dh

$$\chi_+^2=\begin{pmatrix} \cos(\theta_2/2) \\ e^{i\phi}\sin(\theta_2/2) \end{pmatrix}$$ $$\chi_-^2=\begin{pmatrix} e^{i\phi_2}\sin(\theta_2/2) \\ -\cos(\theta_2/2) \end{pmatrix}$$

Ich weiß, dass sowohl das Elektron als auch das Positron Spin sind$1/2$, aber bedeutet das, dass ihre Eigenspinoren nahezu identisch aussehen würden?

Außerdem habe ich eine Frage zu Teil 2. Ich weiß, dass, wenn wir messen, sagen wir,$S_y$, dann wäre die Wahrscheinlichkeit, einen Up Spin Up zu erhalten$[(\chi_+^{(y)})^\dagger \chi]^2$. Allerdings haben wir hier ein Zwei-Teilchen-System, also bedeutet das, dass die Wahrscheinlichkeit, sagen wir, ein Elektron-Spin-Up und ein Positron-Spin-Down zu erhalten wäre$[(\chi_+^{(1)})^\dagger \chi^1]^2\cdot [(\chi_-^{(2)})^\dagger \chi^2]^2$, dh Sie multiplizieren die einzelnen Wahrscheinlichkeiten? Was bedeutet es außerdem, die Wahrscheinlichkeit in "Richtungskosinus" auszudrücken?

Vielen Dank im Voraus.