Verschiedene Definitionen von Spinoren

Sie sind etwas verwirrt durch die Formulierung in Cohen-Tannoudji et al. Es ist nämlich nicht die Funktion $[\varphi]: \mathbf R^3 \to \mathbf R^2$das heißt Spinor, es ist sein Wert an einem bestimmten Punkt, die beiden Zahlen$[\varphi](\mathbf r)\in\mathbf C^2$. Ein Spinor ist also nicht einmal ein Element von$L^2(\mathbf R^3)\times L^2(\mathbf R^3)\equiv L^2(\mathbf R^3)\otimes\mathbf C^2$: es ist nur ein Element von$\mathbf C^2$! Es ist sogar einfacher als Sie denken. Die Funktion$[\varphi]$wird dann richtig als spinorwertige Wellenfunktion bezeichnet , im Gegensatz zu den häufigeren skalaren Wellenfunktionen.

^{In der Quantenmechanik nennt man diese Objekte jedoch immer noch häufig Spinoren und nicht spinorwertige Wellenfunktionen. Es ist kürzer und bequemer, aber Sie müssen bedenken, dass es sich nicht um mehr als einen Missbrauch der Terminologie handelt . Andernfalls wird es Sie später in der Feldtheorie beißen, wo Sie Spinorfelder haben werden – Spinoren, die an jedem Punkt des Raums (der Zeit) spezifiziert sind – im gleichen Sinne wie das Vektorpotential$\mathbf A(\mathbf r)$ist ein Vektorfeld. Die Feldtheorie muss nicht einmal Quantentheorie sein : die klassische reicht.}

Nun, da wir verstehen, dass ein Spinor aus zwei Zahlen besteht, warum all der mathematische Aufwand? Dafür gibt es einen guten Grund. Es sind tatsächlich zwei Zahlen, aber nicht nur zwei Zahlen; es als zwei Zahlen zu betrachten, wird Ihnen nicht helfen zu verstehen, was vor sich geht. Zum Beispiel besteht ein Vektor aus drei Zahlen, aber es sind nicht die drei Zahlen, die Sie sich vorstellen, wenn Sie über Vektoren sprechen: Es sind Pfeile im (euklidischen) Raum. Pfeile sind sinnvoll, unabhängig davon, ob Sie ein Koordinatensystem im Raum zeichnen oder nicht. Und jedem Pfeil ist beispielsweise eine Länge zugeordnet, eine Zahl, die auch unabhängig von einem Koordinatensystem, das Sie haben oder nicht haben, sinnvoll ist.

Aber wenn du einen hast,$K$, können Sie jeden Vektor durch drei Zahlen beschreiben: zum Beispiel$(x\;y\;z)$. Wenn du noch eins hast,$K'$, Sie können drei verschiedene Nummern erhalten ,$(x'\;y'\;z')$. Einige Zahlen sind gleicher als andere:* „Länge von$\mathbf v$” ist in Ermangelung eines Koordinatensystems sinnvoll, aber “the$x$Koordinate von$\mathbf v$“ nicht. Sobald Sie jedoch die Koordinaten eines Vektors in einem bestimmten System haben$K$, Sie können sagen, was sie in jedem anderen sein werden$K'$, konsequent : das heißt, transformieren von$K$Zu$K'$und dann ab$K'$Zu$K''$ist dasselbe wie das Transformieren von$K$Zu$K''$direkt. Und die Transformation ist linear.

Wir kennen natürlich den Grund dafür: Dies sind nur Pfeile im Raum, daher ist die Konsistenz offensichtlich. Angenommen, wir haben die Pfeile vergessen und behalten nur die Koordinaten. Wir könnten dann auf die Existenz der geometrischen Pfeile aus der Tatsache schließen , dass wir diese algebraischen Transformationsregeln haben. Verallgemeinern Sie nun und sagen Sie, dass jeder konsistente Satz von Regeln ein geometrisches Objekt definiert. (Behalten Sie die Linearität der Einfachheit halber bei.) An welche anderen Objekte können wir denken? Nun, die sechs Zahlen$(x_1\;y_1\;z_1\;x_2\;y_2\;z_2)$aus zwei beliebigen Vektoren erhalten$\mathbf v_1$Und$\mathbf v_2$, aber das ist irgendwie offensichtlich, also würden wir gerne Dinge in Betracht ziehen, die nicht aus einfacheren solchen aufgebaut sind. Eine Drehung sieht gut aus: Sie ist geometrisch sinnvoll und wird gleichzeitig durch (neun) Zahlen beschrieben, die bequem in einer Matrix angeordnet sind. (Es verwandelt sich wie$A' = SAS^{-1}$Wenn$v' = Sv$, natürlich.) Es stellt sich heraus, dass es eine bequeme Möglichkeit gibt , über all diese wohlerzogenen Objekte zu sprechen.

Was hat das mit Quantenmechanik zu tun? Alles. Ist der Zustand eines Teilchens an jedem Punkt$\mathbf r$im Raum wird durch eine komplexe Zahl beschrieben$\psi(\mathbf r)$, diese Zahl ändert sich natürlich bei einer Koordinatentransformation nicht. Der Hilbertraum ist$\mathscr H = L^2(\mathbf R^3)$. Was aber, wenn es an jedem Punkt mehr als einen „inneren“ Freiheitsgrad gibt ? Sagen$2s+1$von ihnen? Dann$\mathscr H = L^2(\mathbf R^3)\otimes\mathscr I$und da ist der „innere“ Raum$\mathscr I =\mathbf C^{2s+1}$. Sie müssen (1) sich unter einer Koordinatentransformation miteinander vermischen; ansonsten sind es nur mehrere einfache Teilchen, die zusammengewürfelt werden, nicht ein komplexes. Mische (2) konsistent, (3) linear und (4) die Norm der Wellenfunktion ändert sich nicht. Bitte schön, eine irreduzible(1) unitäre(4) lineare(3) Darstellung(2) der Rotationsgruppe$\mathrm{SO}(3)$An$\mathscr I$. Die Repräsentationstheorie sagt Ihnen, dass es eine solche Repräsentation für gibt$s = 0, 1, 2,\ldots$und so weiter – aber nicht für$s=1/2$! Wo sind die Spinoren?

Es stellt sich heraus, dass wir einen subtilen, aber kritischen Punkt übersehen haben. Sie nehmen Ihre Äxte nicht plötzlich weg und setzen sie anders zurück: Sie ändern sie ständig . Die inneren Freiheitsgrade$\mathscr I$müssen sich bei einem Rotationsprozess auf eine bestimmte Weise umwandeln , nicht nur bei seinen „Endpunkten“. Aber wenn ich diesen Prozess verforme , während ich die Endpunkte festhalte, sollte das Ergebnis besser gleich bleiben. Können nun alle Rotationsprozesse mit festen Endpunkten ineinander transformiert werden? Wenn ja , dann haben wir nichts gewonnen. Aber es stellt sich heraus, dass die Antwort nein lautet: Nichts tun ist dasselbe wie zweimal um eine feste Achse drehen, aber nicht dasselbe wie einmal drehen .

^{Warum zweimal? Einfach. Drehen Sie sich (kontinuierlich) um 360° um die betreffende Achse und dann um 360° um die Achse, die in die entgegengesetzte Richtung zeigt: Dies ist offensichtlich die Identität. Drehe 360° um die angegebene Achse und dann wieder 360° um sie herum: Dies ist die 720°-Drehung. Aber durch Verschieben der Achse der zweiten 360°-Drehung können die beiden Prozesse ineinander verformt werden!}

Die Rede von Prozessen suggeriert stark ein Bild der Integration entlang einer „Kurve im Rotationsraum“. Die relevante Mathematik ist die Theorie der Lie-Algebren . Und was Sie brauchen, ist keine Repräsentation der Gruppe$\mathrm{SO}(3)$von „großen“ Rotationen, sondern eine Repräsentation der Algebra$\mathfrak{so}(3)$von „unendlich kleinen“. [ Das meinen Physiker, wenn sie von „(infinitesimalen) Erzeugern einer Gruppe“ sprechen.] Und wie wir gesehen haben, gibt es noch mehr davon. Genauer gesagt, abgesehen von denen mit$s = 0,1,2,\ldots$Sie erhalten auch einen für jeden von$s = 1/2,3/2,\ldots$. Es stellt sich auch heraus, dass die Operatoren des (erhaltenen) Drehimpulses eng mit der Lie-Algebra der zugehörigen Symmetrie verbunden sind – das sind die Rotationen, über die wir die ganze Zeit gesprochen haben.

^{In einer relativistischen Theorie ist die relevante Symmetrie die größere Lorentz-Algebra$\mathfrak{so}(3,1)$, also haben relativistische Spinoren vier Komponenten, genau wie Vierervektoren. In elf Dimensionen haben Vektoren elf Komponenten, aber Spinoren haben zweiunddreißig . Sie sind also nicht immer „kleiner“.}

Schließlich, nachdem wir nun Spinoren wiederhergestellt haben, was ist los mit Clifford-Algebren und Spingruppen? Erinnern Sie sich an zwei inäquivalente Rotationsprozesse zwischen jedem Paar von Endpunkten in$\mathrm{SO}(3)$? Es stellt sich heraus, dass immer zwei von ihnen drin sind$\mathrm{SO}(n)$für$n\ge 3$, also können wir uns ansehen , wie diese Prozesse Modulo der Äquivalenzen bilden . (Um zwei Prozesse zusammenzusetzen, machen Sie den ersten und dann den zweiten.☺) Das Ergebnis (z$n\geq 3$, und ähnlich für die Lorentz-Gruppen) ist genau$\mathrm{Spin}(n)$. Mir ist keine einfache Motivation ^† für die Verbindung mit Clifford-Algebren bekannt [Änderungen willkommen!], aber Sie werden dorthin gelangen, sobald Sie das Bild der Lie-Algebra verstanden haben. Die Clifford-Algebren selbst sind in der Tat ziemlich einfache Objekte und können leicht motiviert werden, indem man die Quadratwurzel aus dem Laplace-Operator zieht ; Es ist nur nicht klar, warum Sie auf diese Weise Spinoren erhalten.

^{* Farm der Tiere , natürlich.
† Genauer gesagt weiß ich nicht, warum die quadratischen Elemente der Clifford-Algebra eine Darstellung der entsprechenden orthogonalen Algebra bilden. Abgesehen von „einfach mal rechnen“.}

Sie können Ihre spinorwertige Wellenfunktion schreiben als:

Ein solches Formular erfasst jedoch möglicherweise die Aktion unter einer Rotation nicht eindeutig. Zum Beispiel haben Sie eine bestimmte Grundlage gewählt, um es so zu schreiben.

Wenn Sie stattdessen mit einer Clifford-Algebra begonnen haben, könnten Ihre Punkte bereits Vektoren sein und Ihr Feld könnte einen Skalarwert, einen Vektorwert oder sogar einen Multivektorwert haben (nehmen Sie Werte, die ein beliebiger Multivektor oder ein beliebiges Element der Clifford-Algebra sind).

Warum ist das ein Vorteil. Wenn Sie sagen, wie Sie etwas aus Ihren Teilen machen, und Sie wissen, was Ihre Teile tun, dann wissen Sie, was das Ding, das Sie gemacht haben, tut.

Wenn Sie also einen Referenzbivektor wie z$e_1e_2$für zwei orthogonale raumartige Vektoren$e_1$Und$e_2$dann könnte Ihr Spinor ein Multivektor sein, der diese raumähnliche Referenzebene anhebt und dreht, um jede Ebene in jeder raumähnlichen Hyperebene zu beschreiben.

Ihr Spinor könnte also ein Produkt von Vektoren in der 4D-Raumzeit sein, eine gerade Anzahl von Vektoren, die kontinuierlich miteinander verbunden sind. Denn das sind die Drehungen. Und der Schlüssel dabei ist, dass Sie genau wissen, wie er wirkt, da Sie den Spinor durch Multiplikation aus Vektoren aufbauen.