Drehungen der Eigenzustände von SzSzS_z

Question

Drehungen der Eigenzustände von SzSzS_z

Armani42

Ich habe eine Frage zur Rotation von Spinoren in einem Spin-1/2-System.

Wir haben einen Spin-Generator $\hat{S}$ für Rotationen von Spinoren. Eine Drehung um die Achse $\vec{n}$ mit dem Winkel $\phi$ wird vom Operator generiert:

D_{\vec{N}} (ϕ) = \exp (- ich ϕ \hat{S} \cdot \vec{N})

$D_{\vec{n}}(\phi) = \exp(-i\phi \hat{S}\cdot \vec{n})$

Dieser Operator kann auch geschrieben werden, für eine Drehung um $z$ zB als:

D_{z} (ϕ) = \cos (\frac{ϕ}{2}) - ich σ_{z} Sünde (\frac{ϕ}{2})

$D_z(\phi) = \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) - i \sigma_z \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)$

Hier, $\hat{S}_i = \sigma_i/2$ Und $\sigma_i$ sind die Pauli-Matrizen.

$\sigma_1 = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}$ $\sigma_2 = \begin{bmatrix}0&-i\\ i&0\end{bmatrix}$ Und $\sigma_3 = \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1\end{bmatrix}$

Dann haben wir zwei Zustände mit Spin in Richtung der z-Achse gegeben:

$\vert S_z= + \frac{1}{2} \rangle = \begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix} = \vert {\uparrow}\rangle$

Und

$\vert S_z = - \frac{1}{2} \rangle = \begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix} = \vert {\downarrow}\rangle$

Nun ist meine Frage:

Mit welcher Drehung $D_\vec{n}(\phi)$ kann der Eigenzustand $\vert S_x = +\frac{1}{2}\rangle$ mit erhalten werden $\vert\uparrow\rangle$ ?

Wie kann ich das berechnen?

Antworten (2)

Drehungen der Eigenzustände von SzSzS_z

ZeroTheHero · Answer 1

ZeroTheHero

Die einfachste Art, darüber nachzudenken, besteht darin, sich den Spin als einen klassischen Vektor vorzustellen.

Welche Art von Drehung würde einen Vektor vollständig mitnehmen $\hat z$ zum $\hat x$ Achse? Ganz klar, das wäre eine Rotation in der $xz$ Ebene, dh eine Drehung um $\hat y$ .

Das gleiche Argument gilt für Spin. Vielleicht möchten Sie über die Beziehung zwischen dem klassischen Winkel und dem Rotationswinkel im Spinraum nachdenken und sich daran erinnern $\vert +\rangle$ Und $\vert -\rangle$ sind orthogonale Vektoren im Spinraum, aber antiparallel im gewöhnlichen Raum. Deshalb $\phi$ wird multipliziert mit $1/2$ in deinen Ausdrücken.

Armani42

Vielen Dank! Jetzt habe ich folgendes Ergebnis:

D_{y} | ↑>= c o s (ϕ / 2) - i [\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}] s i n (ϕ / 2) | ϕ >= c o s (ϕ / 2) - [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}] s i n (ϕ / 2) | ↑>

$D_y |\uparrow> = cos(\phi / 2) - i \begin{bmatrix}0 & -i\\ i & 0\end{bmatrix} sin(\phi /2) |\phi> = cos(\phi / 2) - \begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix} sin(\phi / 2) |\uparrow>$ Und wie zeige ich nun, dass dies so ist

| S_{x} = + 1 / 2 >

$|S_x = +1/2>$ ?

ZeroTheHero

@Armani42 Sie möchten sicher sein, dass die

\cos (ϕ / 2)

$\cos(\phi/2)$ Term wird mit der Einheitsmatrixmatrix multipliziert. Es bleibt Ihnen, die Eigenzustände von zu finden

S_{x}

$S_x$ als Kombinationen von Eigenzuständen von

S_{z}

$S_z$ , und finde den Winkel

ϕ

$\phi$ das erzeugt diese Eigenzustände. Kannst du es erraten

ϕ

$\phi$ aus klassischen Argumenten?

Armani42

Oh okay, und der Winkel ist dann, weil die Spins halb so schnell rotieren:

ϕ

$\phi$ =

π

$\pi$ ?

ZeroTheHero

@ Armani42 warum versuchst du es und schaust, ob das Ergebnis ein Eigenzustand von ist

S_{x}

$S_x$ ?

Armani42

Okay, jetzt habe ich es versucht und ich bekomme:

D_{y} | ↑>= [\begin{matrix} c o s (ϕ / 2) & - s i n (ϕ / 2) \\ s i n (ϕ / 2) & c o s (ϕ / 2) \end{matrix}] | ↑>

$D_y |\uparrow> = \begin{bmatrix} cos(\phi/2) & -sin(\phi/2) \\ sin(\phi/2) & cos(\phi/2)\end{bmatrix} |\uparrow>$ Und

D_{y} (π) = [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]

$D_y(\pi) = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$ Aber ich kann keinen Eigenwert davon nehmen :/

ZeroTheHero

@Armani42 Offensichtlich deine Wahl des Winkels und einfach transformiert

| + ⟩

$\vert +\rangle$ Zu

| - ⟩

$\vert -\rangle$ im

\hat{z}

$\hat z$ Basis. Ich denke, mein Kommentar zur „Rotationsgeschwindigkeit“ hat Sie verwirrt, da Sie bereits eine haben

1 / 2

$1/2$ Faktor in Ihren Ausdrücken.

Armani42

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WuffDoggy · Answer 2

Wenn Sie Spin-Operatoren drehen, dh

D_{\vec{N}} (ϕ) \cdot (\hat{S} \cdot \vec{M}) \cdot D_{\vec{N}}^{†} (ϕ),

$D_{\vec{n}}(\phi) \cdot (\hat{S} \cdot \vec{m}) \cdot D^{\dagger}_{\vec{n}}(\phi),$ es ist dasselbe, als ob Sie den Vektor (rechts) drehen würden

\vec{m}

$\vec{m}$ um den Vektor

\vec{n}

$\vec{n}$ im Winkel

ϕ

$\phi$ . Dies ist eine Folge der algebraischen Eigenschaften von Spinoperatoren (sie erstrecken sich über

s u (2)

$su(2)$ Lügenalgebra). Dieser Analogie folgend,

{\hat{S}}_{x, y, z}

$\hat{S}_{x,y,z}$ kann als drei orthogonale Versoren des 3D-euklidischen Raums dargestellt werden. Wenn Sie vers. drehen

e_{x}

$e_{x}$ im Winkel

ϕ = - π / 2

$\phi = -\pi/2$ um

e_{y}

$e_y$ Sie erhalten

e_{z}

$e_z$ . Also in Bezug auf Spinoperatoren:

{\hat{S}}_{z} = e^{ich \frac{π}{2} {\hat{S}}_{j}} \cdot {\hat{S}}_{X} \cdot e^{- ich \frac{π}{2} {\hat{S}}_{j}} .

$\hat{S}_z = e^{i\frac{\pi}{2}\hat{S}_y} \cdot \hat{S}_x \cdot e^{-i\frac{\pi}{2}\hat{S}_y}.$

Jetzt ist Ihr Anfangszustand ein Eigenzustand von $\hat{S}_z$ dh

{\hat{S}}_{z} | S_{z} = + 1 / 2 ⟩ = \frac{1}{2} | S_{z} = + 1 / 2 ⟩ .

$\hat{S}_z |s_z=+1/2\rangle = \frac{1}{2} |s_z=+1/2\rangle.$ Wenn Sie die vorherige Beziehung verwenden, können Sie schreiben

{\hat{S}}_{X} e^{- ich \frac{π}{2} {\hat{S}}_{j}} | S_{z} = + 1 / 2 ⟩ = \frac{1}{2} e^{- ich \frac{π}{2} {\hat{S}}_{j}} | S_{z} = + 1 / 2 ⟩,

$\hat{S}_x e^{-i\frac{\pi}{2}\hat{S}_y}|s_z=+1/2\rangle = \frac{1}{2} e^{-i\frac{\pi}{2}\hat{S}_y}|s_z=+1/2\rangle,$ und gemäß Definition des Eigenzustands

| S_{X} = + 1 / 2 ⟩ := e^{- ich \frac{π}{2} {\hat{S}}_{j}} | S_{z} = + 1 / 2 ⟩

$|s_x=+1/2\rangle := e^{-i\frac{\pi}{2}\hat{S}_y}|s_z=+1/2\rangle$

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