Drehung eines Spin-1/2-Systems

Question

Drehung eines Spin-1/2-Systems

Virft

Der Hamilton-Operator eines Spin-1/2-Systems in einem Magnetfeld $\mathbf{B} = B \hat{\mathbf{n}}$ Ist

\hat{H} = - \frac{e}{M C} \hat{σ} \cdot B

$\begin{equation}\hat{H} = - \frac{e}{mc} \hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \mathbf{B} \end{equation}$

Wo $\hat{\mathbf{n}}$ ist ein beliebiger Vektor und $\hat{\boldsymbol{\sigma}}$ der Vektor der Pauli-Matrizen, dh $\hat{\boldsymbol{\sigma}} = (\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)$ .

Das Problem besteht nun darin, die Eigenspinoren des Hamiltonoperators zu finden.

Meine erste Idee (die prima funktioniert) war, zuerst das System mit zu betrachten $\hat{\mathbf{n}} = (0,0,1)$ :

\hat{σ} \cdot \hat{N} = σ_{3}

$\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \hat{\mathbf{n}} = \sigma_3 \end{equation}$

In diesem Fall sind die Eigenspinoren bekannt und durch Drehen des Systems ist es möglich, die Eigenspinoren für das System mit beliebigen zu finden $\hat{\mathbf{n}}$ .

Genauer gesagt, ein Eigenspinor (vor der Rotation). $\chi_+ = (1,0)$ und Anwendung der Rotation in SU(2):

e^{- \frac{ich}{ℏ} σ_{z} φ} e^{- \frac{ich}{ℏ} σ_{j} θ} χ_{+} = (\begin{matrix} e^{- ich φ / 2} \cos (θ / 2) \\ e^{ich φ / 2} Sünde (θ / 2) \end{matrix})

$\begin{equation} e^{-\frac{i}{\hbar} \sigma_z \varphi} e^{-\frac{i}{\hbar} \sigma_y \theta}\chi_+ = \begin{pmatrix}e^{-i\varphi/2} \cos(\theta/2) \\ e^{i\varphi/2} \sin(\theta/2)\end{pmatrix} \end{equation}$ was (bis auf einen Phasenfaktor) das Ergebnis von Wikipedia ist ( https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenspinor )

Eine andere Möglichkeit besteht darin, mit einem beliebigen Magnetfeld zu beginnen und dann die Eigenvektoren des Hamilton-Operators zu berechnen. Das heißt, man dreht den Vektor $\hat{\mathbf{n}} = (0,0,1)$ so dass danach $\hat{\mathbf{n}} = (\cos \varphi \sin \theta, \sin \varphi \sin \theta,\cos \theta)$ . Dabei findet man dieselben Eigenspinoren.

Ich sehe also, dass die Ergebnisse die gleichen sind, aber ich verstehe nicht wirklich, wie die 3-dimensionale Rotation (des Raums) mit der 2-dimensionalen (des Spinors) zusammenhängt. Ich weiß, dass SU(2) eine doppelte Abdeckung von SO(3) ist, aber ich sehe nicht, wie man die beiden im obigen Beispiel formal in Beziehung setzen würde. Ich schätze, dass die Antwort irgendwie mit dem Homomorphismus zwischen den Gruppen (oder ihrer Lie-Algebra) zusammenhängt, aber ich habe mich so sehr verwirrt, dass ich es nicht herausfinden kann.

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Drehung eines Spin-1/2-Systems

geniert · Answer 1

Ich sehe nicht, wie man die beiden im obigen Beispiel formal in Beziehung setzen würde

Lassen

\hat{σ} \cdot \underline{N} = N^{1} {\hat{σ}}_{1} + N^{2} {\hat{σ}}_{2} + N^{3} {\hat{σ}}_{3} = \hat{S} (θ, ϕ) {\hat{σ}}_{3}

$\hat{\sigma}\cdot{\underline{n}}= n^1\hat{\sigma}_1 + n^2\hat{\sigma}_2+n^3\hat{\sigma}_3 = \hat{S}(\theta,\phi)\hat{\sigma}_3$ nämlich jede Kombination von Pauli-Matrizen kann immer als Produkt einer anderen Pauli-Matrix mal einem anderen Objekt geschrieben werden

S U (2)

$SU(2)$ . Die Matrix

\hat{S} (θ, ϕ)

$\hat{S}(\theta,\phi)$ ist im vorliegenden Fall das Element

\hat{S} (θ, ϕ) = (\begin{matrix} e^{- ich ϕ / 2} \cos (θ / 2) e^{- ich ϕ / 2} Sünde (θ / 2) \\ e^{ich ϕ / 2} Sünde (θ / 2) e^{ich ϕ / 2} \cos (θ / 2) \end{matrix}) .

$\hat{S}(\theta, \phi) = \begin{pmatrix} e^{-i\phi/2}\cos(\theta/2)\quad e^{-i\phi/2}\sin(\theta/2)\\ e^{i\phi/2}\sin(\theta/2)\quad e^{i\phi/2}\cos(\theta/2) \end{pmatrix}.$ Lassen Sie uns nun zwei Vektoren assoziieren

R^{3}

$\mathbb{R}^3$ zu der obigen Gleichung, eine auf der linken Seite und eine auf der rechten Seite, nämlich

(N^{1}, N^{2}, N^{3}) \mapsto (0, 0, N^{' 3})

$(n^1, n^2, n^3)\mapsto(0,0,n'^3)$ da die rechte Seite nur die besitzt

σ_{3}

$\sigma_3$ . Lassen

\hat{R} (θ, ϕ)

$\hat{R}(\theta, \phi)$ die Transformationsmatrix so, dass

\hat{R} (θ, ϕ) (N^{1}, N^{2}, N^{3}) = (0, 0, N^{' 3}) .

$\hat{R}(\theta, \phi)\,(n^1, n^2, n^3) = (0,0,n'^3).$ Als solches stehen uns nun zwei Objekte zur Verfügung:

\hat{S} (θ, ϕ) \in S U (2), \hat{R} (θ, ϕ) \in S Ö (3);

$\hat{S}(\theta, \phi)\in SU(2),\qquad \hat{R}(\theta,\phi)\in SO(3);$ die Karte

ρ : S \mapsto R

$\rho\colon S\mapsto R$ für jedes Paar

(θ, ϕ)

$(\theta, \phi)$ ist die gesuchte Doppeldeckungskarte (man kann zeigen, dass beide

S

$S$ Und

- S

$-S$ entsprechen dem gleichen

R

$R$ ).

Aufgrund des obigen Arguments multipliziert man die $\sigma$ von $\hat{S}$ ist gleichbedeutend mit multiplizieren $\underline{n}$ von $\hat{R}$ , deshalb sind die Eigenwerte gleich, egal welche Multiplikation man zuerst durchführt.

Sollte nicht $\hat{S}(\theta, \phi)$ eine 2x2-Matrix sein? Also vielleicht so etwas wie $\begin{pmatrix}e^{-i\varphi/2} \cos(\theta/2) & -e^{-i\varphi/2} \sin(\theta/2)\\ e^{i\varphi/2} \sin(\theta/2) & e^{i\varphi/2} \cos(\theta/2)\end{pmatrix}$
@Virft Oh ja, natürlich habe ich vergessen, die rechte Seite hinzuzufügen, danke: p!

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