Wie bearbeite ich einen Spin-Zustand mit einem Sigma-Operator?

Anwendung 1:

Es ist das$z$-Komponente des vektorbewerteten Drehimpulses, der für einen Spin beobachtbar ist$\frac{1}{2}$Partikel, wenn die Basiszustände die sind$z$-Komponenten-Drehimpuls-Eigenzustände. Wenn das ein bisschen kreisförmig und tautologisch klingt, ist das der Grund dafür$\sigma_z$ist diagonal .

Also die$n^{th}$Moment der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Drehimpulsmessung im$z$Richtung ist$\frac{\hbar}{2}\langle s|\sigma_z^n| s\rangle$.

Nicht überraschend, die$n^{th}$Momente der Wahrscheinlichkeitsverteilungen einer Drehimpulsmessung im$x$Und$y$Richtungen sind$\frac{\hbar}{2}\langle s|\sigma_x^n| s\rangle$Und$\frac{\hbar}{2}\langle s|\sigma_y^n| s\rangle$, bzw.

Anwendung 2:

Wenn die Basis des Minkowski- (oder euklidischen) Raums gedreht wird, unsere räumlichen Koordinaten$\vec{x}$wandle dich nach der Regel um$\vec{x}\mapsto R(\theta,\,\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z)\,\vec{x}$, wobei die Rotationsmatrix ist:

$$R(\theta,\,\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z)=\exp\left(\theta\left(i\,\gamma_x\,S_x+\gamma_y\,S_y+\gamma_z\,S_z\right)\right)\tag{1}$$

Wo$\theta$ist der Drehwinkel und$\gamma_i$die Richtungskosinusse der Rotationsachse. Die auf die räumlichen Vektoren wirkende Gruppe ist$SO(3)$und die Basisvektoren seiner Lie-Algebra sind:

$$i\,S_x = \left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right);\quad i\,S_y = \left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{array}\right);\quad i\,S_z = \left(\begin{array}{ccc}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}\right)\tag{2}$$

Während wir dies tun, wird der Quanten-Spin-Zustand$\psi$, wenn es als a ausgedrückt wird$2\times 1$Spaltenvektor in der$z$-Komponenten-Drehimpuls-Eigenzustandsbasis, wie wir es in Anwendung 1 getan haben, transformiert durch das Bild von$R$unter einer projektiven oder Spinor-Darstellung (in meiner Antwort hier besprochen ) als$\psi\mapsto\Sigma(\theta,\,\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z)\,\psi$Wo:

$$\Sigma(\theta,\,\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z) = \exp\left(i\,\frac{\theta}{2}\left(\gamma_x\,\sigma_x+\gamma_y\,\sigma_y+\gamma_z\,\sigma_z\right)\right)\tag{3}$$

Anwendung 3:

Wenn eine Drehung$\frac{1}{2}$Teilchen mit einem magnetischen Moment wird in ein klassisches Magnetfeld mit Induktionskomponenten eingetaucht$B_j$, dann ist der Zeitentwicklungsoperator für den in Anwendung 1 diskutierten Quantenzustand definiert durch:

$$\psi(t) = \exp\left(i\,g\,\left(B_x\,\sigma_x+B_y\,\sigma_y+B_z\,\sigma_z\right)\,t\right)\,\psi(0)\tag{4}$$

Wo$g$ist das gyromagnetische Verhältnis des Teilchens. Der Hamiltonian hier ist also$\hat{H}=-i\,\hbar\,g\,\left(B_x\,\sigma_x+B_y\,\sigma_y+B_z\,\sigma_z\right)$

Bloch-Sphäre

Die Bloch-Sphäre ist eine nicht-injektive Darstellung unseres Quantenzustands (hier geht die gemeinsame Phasenfaktorinformation verloren).$\psi$im alltäglichen euklidischen 3-Raum. Operatoren der Form in entweder (3) oder (4) leben in der Gruppe$SU(2)$. Eine einfache Möglichkeit, eine Vektoranalyse in 3 Dimensionen durchzuführen, besteht darin, einen Vektor mit kartesischen Koordinaten darzustellen$x,\,y,\,z$als Matrix in der Lie-Algebra überhaupt$2\times 2$schief-hermitesche Matrizen:

$$X=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\mapsto \tilde{X}=-i\,(x\,\sigma_x+y\,\sigma_y+z\,\sigma_z)\tag{5}$$

Dann kann die Wirkung einer Drehung äquivalent beschrieben werden durch$X\mapsto\,R\,X$oder durch die sogenannte Spinor-Karte$\tilde{X}\mapsto\Sigma\,\tilde{X}\,\Sigma^{-1}=\Sigma\,\tilde{X}\,\Sigma^\dagger$Wo$R$Und$\Sigma$sind die Operatoren in (1) bzw. (3). Ein Vorteil davon ist, dass das Vektorkreuzprodukt die Lie-Klammer wird und dann das innere Produkt einfach das innere Produkt der Spur (Frobenius) ist. Umgekehrt zurück: Wenn Sie bereit sind, konstante Phasenterme im Quantenzustand in Anwendung 1 zu ignorieren, kann der reine Quantenzustand durch seine dargestellt werden$2\times 2$Dichtematrix$\rho=\psi\,\psi^\dagger$. Wenn sich Quantenzustände wie in (3) oder (4) einheitlich transformieren, wird die Dichtematrix der Spinorkarte unterzogen$\rho\mapsto\Sigma\,\rho\,\Sigma^\dagger$Wenn wir also (5) rückwärts denken, können wir die Dichtematrix als einen Vektor mit drei kartesischen Komponenten darstellen, und sie wird einer entsprechenden starren Drehung unterzogen. Der Raum der Dichtematrizen wird also durch diesen Vorgang auf die 2-Sphäre abgebildet. Tatsächlich berechnen Sie die kartesischen Komponenten des Punktes auf der Kugel durch:

$$x_j=\psi^\dagger\,\sigma_j\,\psi=\frac{1}{2}\mathrm{tr}(\sigma_j\,\rho)\tag{6}$$

Sie können aus (6) ersehen, dass jeder gemeinsame Phasenfaktor$e^{i\,\phi}$multiplizieren$\psi$ändert den Punkt auf der Bloch-Kugel nicht. Ich spreche in dieser Antwort hier mehr über die Bloch-Kugel, die in der Optik als Poincaré-Kugel bezeichnet wird .

$\vert+\rangle$Und$\vert-\rangle$sind eigentlich nur Kurzschreibweisen für die beiden Eigenvektoren des Diagonal-Spin-Operators$\sigma_z$. Das bedeutet konkret:

$$\vert+\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$$\vert-\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Daher liefert Ihnen die Aktion des Sigma-Operators einfach den entsprechenden Eigenwert:

$$\sigma_z \vert+\rangle = \begin{pmatrix} 1& 0 \\0 &-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =+1 \vert+\rangle$$

$$\sigma_z \vert-\rangle = \begin{pmatrix} 1& 0 \\0 &-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} =-1 \vert+\rangle$$

Dies ist ein allgemeines Ergebnis in der Quantenmechanik, unabhängig von Anwendungen im Kontext der Festkörperphysik oder ähnlichem.

$\newcommand{\ket}[1]{| #1 \rangle}$Ein beliebiger Spin-Zustand$\ket{s}$kann als Summe der aufgeschlüsselt werden$\ket{+}$Und$\ket{-}$Eigenzustände:

$$\ket{s} = \alpha \ket{+} + \beta \ket{-}$$ Wo $\alpha$Und $\beta$sind komplexe Zahlen. Wir schreiben den Gesamtvektor wie folgt: $$\ket{s} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$$ Wo wir uns daran erinnern, dass das erste Element das bedeutet $\ket{+}$Komponente und die zweite bedeutet die $\ket{-}$. Auf dieser Grundlage haben die Pauli-Matrizen eine Standardform: $$\sigma_z = \begin{pmatrix} 1& 0 \\0 &-1 \end{pmatrix}$$ Das Produkt $\sigma_z \ket{s}$ist jetzt nur noch eine Frage der Matrix-Vektor-Multiplikation.