Teilweise polarisiertes Licht mit Jones-Vektoren?

Ihre vorgeschlagene Methode würde funktionieren, solange Sie Licht nur durch lineare optische Komponenten leiten, die den Polarisationsgrad oder die Gesamtleistung des Lichts nicht ändern. In diesem Fall würden Sie den Jones-Kalkül in Verkleidung verwenden: Sie können die polarisierten und depolarisierten Komponenten beibehalten getrennt.

Aber die Methode wird im Allgemeinen nicht funktionieren. Sie können die Jones-Matrizen jedoch immer noch verwenden, um optische Komponenten darzustellen, aber Sie wenden sie auf eine neue Art und Weise an.

Partielle Polarisierung ist klassisch sehr schwer zu beschreiben - es ist fast dasselbe (und genauso schwierig) wie die klassische Diskussion der partiellen Kohärenz, und man muss Zufallsprozesse gründlich verstehen, um sie vollständig zu diskutieren. Born und Wolf widmen diesen Konzepten ein ganzes Kapitel. Aber im Quantenbild wird es sehr elegant beschrieben: Teilweise polarisiertes Licht ist eine statistische Mischung aus reinen Quantenzuständen. Ich diskutiere beide Ansätze in meiner Antwort hier .

Jetzt sollten Sie sich also erst einmal in die Dichtematrix einlesen (siehe gleichnamigen Wikipedia-Artikel) . Der Name „Matrix“ ist ein wenig irreführend, denn es handelt sich tatsächlich um einen „Zustand“ (wenn auch einen gemischten), der als a geschrieben wird$N\times N$Matrix (wo$N$ist die Dimensionalität der Quantenzustände, mit denen Sie es zu tun haben) und KEINE "Transformation" oder "Operator" für Zustände, wie der Name "Matrix" implizieren würde. Es ist als Matrix geschrieben, weil dies der bequemste Weg ist, Statistiken daraus zu bekommen: die$n^{th}$Moment einer Messung durch eine Observable$\hat{A}$wird berechnet als${\rm Tr}(\rho \hat{A}^n)$Wo$\rho$ist die Dichtematrix, die den gemischten Zustand darstellt. Wenn also der Lichtzustand eine klassische statistische Mischung von Polarisationszuständen mit ist$2\times 1$Jones-Vektoren$\vec{x}_1, \vec{x}_2, \cdots$mit den klassischen Wahrscheinlichkeiten jedes Zustandswesens$p_1,p_2,\cdots$, dann ist die Dichtematrix:

(Reihenfolge beachten:$\vec{x}_j \vec{x}_j^\dagger$ist ein$2\times2$Projektionsmatrix). Solche Matrizen sind leicht hermitesch ( d. h $\rho = \rho^\dagger$)

So unser$2\times 2$gemischter Quantenlichtzustand wird nun allgemein dargestellt$2\times2$Hermitesch ( dh $H = H^\dagger$) Matrix:

Wo$\sigma_0 = {\rm id}$ist der$2\times 2$Identitätsmatrix und$\sigma_j$sind die Pauli-Spinmatrizen. Die Koeffizienten$s_j$sind nichts anderes als der Stokes-Vektor. Beliebig$2\times2$Hermitesche Matrix kann so geschrieben werden.

Tritt nun das Licht durch ein verlustfreies Bauteil, so entsteht dessen Jones-Matrix$U$ist einheitlich$U U^\dagger = U^\dagger U = {\rm id}$, dann wird die Dichtematrix zu:

und die Länge des "polarisierten" Teils des Lichts$(s_1, s_2, s_3)$ändert sich nicht.$s_0$einerseits und$(s_1, s_2, s_3)$auf der anderen Seite getrennt bleiben und sich nicht vermischen. Die Einheitsmatrix verschlüsselt die$(s_1, s_2, s_3)$lässt aber ihre Quadratsumme konstant und zwar, wenn wir nur auf die schauen$(s_1, s_2, s_3)$Wir sind Zeugen der Gruppe$SU(2)$von unitären Jones-Matrizen, die auf die dreidimensionale Lie-Algebra wirken$i\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$von$SU(2)$durch die adjungierte Darstellung $SO(3)$von$SU(2)$- in der Umgangssprache sehen wir Rotationen der Poincaré-Kugel .

Wenn unsere optische Komponente jedoch nicht verlustfrei ist, dann die Transformation$U$ist einfach ein General$2\times2$Hermitische Matrix und die$s_0$Und$(s_1, s_2, s_3)$werden in einer allgemeineren linearen Transformation gemischt. Sie können Ihre Jones-Matrizen, wenn Sie möchten, immer noch verwenden, aber Sie müssen sie verwenden, die nicht auf einen Zustand, sondern auf die Dichtematrix wirken: dh anstelle Ihres reinen Zustands$x$transformieren wie$x\mapsto U x$, transformiert sich Ihre Dichtematrix durch eine sogenannte Spinor-Map$\rho\mapsto U \rho U^\dagger$.

Eine andere Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, dies einfach in der Karte zu vermerken$\rho\mapsto U \rho U^\dagger$, die vier Parameter$(s_0,s_1, s_2, s_3)$Definieren der Dichtematrix werden linearen Transformationen unterzogen. Anstelle von Spinor-Maps können wir also a verwenden$4\times4$Matrix zur Darstellung einer allgemeinen optischen Komponente. Dies ist natürlich die Mueller-Matrix. Für ein optisches Bauteil mit allgemeiner, nicht unitärer Jones-Matrix$U$, die entsprechenden Elemente der Mueller-Matrix$M$Sind:

Die Mueller-Matrix wirkt auf Vektoren im linearen Raum von$2\times2$Hermitesche Matrizen als Vektorraum gedacht$\mathbb{R}$. Dieser Raum kommt mit einem inneren Produkt zum Finden von Komponenten von "Vektoren" der Tötungsform$\left<A,B\right> = {\rm Tr}(A^\dagger B) = {\rm Tr}(A B)$, so habe ich den Ausdruck oben geschrieben. Der Stokes-Vektor ist einfach die Dichtematrix, die in diesem Raum lebt, aber als a geschrieben wird$4\times 1$Spalte mit reellen Werten und die Mueller-Matrix implementiert die lineare Spinorkarte auf der umgeschriebenen Dichtematrix.

Allgemeiner gesagt ist das Mueller-Kalkül einfach eine andere Möglichkeit, die Transformationen zu berechnen, die an einer Dichtematrix für jedes endlichdimensionale Quantensystem durch verschiedene Operationen vorgenommen werden, die unitäre Operatoren oder eine Art Wigner-Friend-Umwandlung von reinen Zuständen in gemischte umfassen können . Jeden$N$dimensionales Quantensystem impliziert ein$N^2 \times N^2$dimensionaler Mueller-Kalkül, wenn die Dichtematrizen als Spalten geschrieben werden. Hier sind die "Basisvektoren" die Matrizen$\left|\left.x_j\right.\right>\left<\left.x_k\right.\right|$Wo$x_j$sind die basisquantenreinen Zustände. Der$N^2 \times N^2$Die Mueller-Matrix arbeitet mit dem Vektor der Koeffizienten$\rho_{j,k}$in der Dichtematrix$\sum\limits_j\sum\limits_k \rho_{j,k}\left|\left.x_j\right.\right>\left<\left.x_k\right.\right|$.

Fußnote: Wie Trimok darauf hingewiesen hat (danke Trimok), ergibt die Standardnummerierung der Pauli-Matrizen eine Neuordnung der Stokes-Parameter des OP:

... mit den OP-Konventionen haben Sie die Korrespondenz$s_1 \to s_z, s_2 \to s_x, s_3 \to s_y$mit$\rho = s_0\sigma_0 + s_x \sigma_x +s_y \sigma_y +s_z\sigma_z$