Wie finde ich einen Erwartungswert für das magnetische Moment eines Elektrons?

Lassen

$$|s\rangle = \alpha|\uparrow\rangle + \beta|\downarrow\rangle$$ Wir nehmen an, dass $s$ist normalisiert, dh $\langle s | s\rangle = 1 \implies |\alpha|^2+|\beta|^2 = 1$. Dann der Erwartungswert von $\hat{\mu}_e$Ist: $$\langle\hat{\mu}_e\rangle = \langle s|\hat{\mu}_e|s\rangle$$ $$\implies \langle\hat{\mu}_e\rangle = |\alpha|^2\langle\uparrow| \hat{\mu}_e |\uparrow\rangle + |\beta|^2\langle\downarrow| \hat{\mu}_e |\downarrow\rangle + \alpha^{\ast}\beta\langle\uparrow| \hat{\mu}_e |\downarrow\rangle + \alpha\beta^{\ast}\langle\downarrow| \hat{\mu}_e |\uparrow\rangle$$ Jetzt, $\hat{\mu}_e = g\mu_B\hat{\sigma}$. Wir verwenden dies zusammen mit $\langle \uparrow|\hat{\sigma}|\uparrow\rangle = 1$, $\langle \downarrow|\hat{\sigma}|\downarrow\rangle = -1$, Und $\langle \uparrow|\hat{\sigma}|\downarrow\rangle = \langle \downarrow|\hat{\sigma}|\uparrow\rangle = 0$, zu bekommen: $$\langle\hat{\mu}_e\rangle = g\mu_B(|\alpha|^2 - |\beta|^2)$$ Beachten Sie, dass dieser Ausdruck für den Erwartungswert mit dem Interpretieren konsistent ist $|\alpha|^2$Und $|\beta|^2$als Wahrscheinlichkeiten, den Spin zu finden $\uparrow$Und $\downarrow$bzw. nach Bedarf.