Bloch-Sphäre Darstellung der Unsicherheit

Ja, da ist etwas, und es gilt sogar für gemischte Zustände, nicht nur für reine Zustände.

Nehmen Sie eine beliebige Dichtematrix${\hat \rho}$entsprechend einem Punkt A =$(a_x, a_y, a_z)$innerhalb der Einheits-Bloch-Sphäre,$|{\vec a}| \le 1$, so dass

$${\hat \rho} = \frac{1}{2} \Big( {\hat I} + {\vec a}\cdot {\hat {\vec \sigma}}\Big)$$ Da der Spin entlang Richtungen mittelt $x$, $y$, $z$sind die Komponenten $a_x$, $a_y$, $a_z$, $$\langle {\hat \sigma}_i \rangle = a_i\;, \;\;\; i = x,\;y\;,z$$ die entsprechenden Unsicherheiten lesen $$\langle (\Delta {\hat \sigma}_i)^2 \rangle = Tr [({\hat\sigma}_i^2 - \langle {\hat \sigma}_i \rangle^2) {\hat \rho}] = 1 - a_i^2\;, \;\;\; i = x,\;y\;,z$$ Betrachten Sie zum Beispiel $\langle (\Delta {\hat \sigma}_x)^2 \rangle = 1 - a_x^2$. Schneiden Sie die Bloch-Kugel mit einer Ebene senkrecht zur x-Achse und durch den Punkt A. Dann ist der Radius des resultierenden kreisförmigen Schnitts $\sqrt{1-a_x^2} = \sqrt{\langle (\Delta {\hat \sigma}_x)^2 \rangle}$.

Für reine Zustände, wann$|{\vec a}| =1$Und

$$\langle (\Delta {\hat \sigma}_i)^2 \rangle = 1 - a_x^2 = a_y^2 + a_z^2$$ der kreisförmige Schnitt kreuzt Punkt A, und $\sqrt{a_y^2 + a_z^2}$ist nur der Abstand von A zur x-Achse. Analog für die anderen Achsen. Also im Allgemeinen

Für einen reinen Zustand$\psi$die Spinunsicherheit in jeder Richtung${\vec n}$ist der Abstand von seinem repräsentativen Punkt A =$(\langle {\hat \sigma}_x \rangle, \langle {\hat \sigma}_y\rangle, \langle {\hat \sigma}_z\rangle)$auf der Bloch-Kugel zu dieser Achse.

Offensichtlich ist die einzige Richtung, für die dieser Abstand und die entsprechende Unsicherheit Null ist, die Richtung von${\vec a}$selbst.