Rotationen von Spin-Eigenzuständen in QM

Wenn Sie einen Staat haben | ψ ⟩ = | ↑ ⟩ das ist der Spin-Eigenzustand des Spin-Operators S ^ z = ℏ 2 σ ^ z wenn Sie diesen Zustand als Vektor in der Bloch-Kugel betrachten und daran interessiert sind, den Spinzustand um zu drehen π 2 um die X Achse, wie ich verstehe, wenden Sie den Operator an U ^ = e − π 2 σ ^ X , würden Sie dann erhalten

U ^ | ↑ ⟩ = e − π 2 σ ^ X | ↑ ⟩ = 1 2 | ↑ ⟩ + ich 2 | ↓ ⟩ ?

Danke für jede Hilfe.

Ich glaube, dass Ihnen ein Faktor fehlt ich in deinem Ausdruck für U . Hast du es mal mit Rechnen versucht U | ↑ ⟩ direkt?
@BySymmetry Ja, das war ein Tippfehler. Du meinst erweitern e . . . ?

Antworten (1)

Der einfachste Weg ist, das Exponential zu erweitern, indem man verwendet σ X = ( 0 1 1 0 ) und sich daran zu erinnern σ X 2 = 1 2 × 2 . Daher

e − ich θ σ X = 1 2 × 2 − ich θ σ X + 1 2 ( − 1 ) θ 2 1 2 × 2 + 1 3 ! ich θ 3 σ X + … , = 1 2 × 2 ( 1 − 1 2 θ 2 + … ) − ich σ X ( θ − 1 3 ! θ 3 + … ) , = 1 2 × 2 cos ⁡ θ − ich σ X Sünde ⁡ ( θ ) , = ( cos ⁡ ( θ ) − ich Sünde ⁡ ( θ ) − ich Sünde ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) ) .
Das gesuchte Ergebnis folgt mit θ = π / 4 ( NICHT θ = π / 2 ) und wirkt weiter | ↑ ⟩ = ( 1 0 ) . Verwenden θ = π / 2 Erträge ich | ↓ ⟩ .

Es kann sein, dass die Diskrepanz zwischen meinem und Ihrem Ergebnis in der Definition von liegt σ X , was manchmal verwechselt wird S X = σ X / 2 .

Ok danke für eine sehr gute Antwort. Nur zwei schnelle Dinge: Erstens, beim Überlegen θ = π 4 Ich bekomme jetzt e − ich π 4 σ X | ↑ ⟩ = e − ich π 4 σ X ( 1 0 ) = ( 1 2 − ich 2 ) = 1 2 | ↑ ⟩ − ich 2 | ↓ ⟩ . Daher habe ich Recht, wenn ich sage, dass wir rotiert haben | ↑ ⟩ zu dem Eigenzustand, der dem Spin-Down-Eigenzustand von entspricht S ^ j ?
Wäre dies schließlich unter Berücksichtigung von zwei Spin-Up-Partikeln korrekt?
e − ich π 4 σ X 1 e − ich π 4 σ X 2 [ | ↑ ⟩ ⊗ | ↑ ⟩ ] = [ 1 2 | ↑ ⟩ − ich 2 | ↓ ⟩ ] ⊗ [ 1 2 | ↑ ⟩ − ich 2 | ↓ ⟩ ] = 1 2 | ↑ ⟩ ⊗ | ↑ ⟩ − ich 2 | ↑ ⟩ ⊗ | ↓ ⟩ − ich 2 | ↓ ⟩ ⊗ | ↑ ⟩ − 1 2 | ↓ ⟩ ⊗ | ↓ ⟩ ?
Ich glaube, ja in beiden Punkten.
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