Pauli-Matrixrotationen

Wie TMS erwähnte, sollten Sie ein schönes Ergebnis erhalten, wenn Sie mit den Pauli-Matrix-Eigenschaften und den trigonometrischen Formeln mit doppeltem Winkel herumspielen. (Was „nett“ bedeutet, hängt natürlich davon ab, wofür Sie es verwenden werden.)

Ich finde es jedoch sinnvoll, einen Schritt zurückzutreten und der geometrischen Natur des Objekts, mit dem man es zu tun hat, die Zügel in die Hand zu geben. Wie würde ich das tun? Oft sind es die Einzelheiten der Formulierung, die Sie verwirren, und es ist am besten, die Einstellung ein wenig zu verallgemeinern. Betrachten Sie daher insbesondere den bezugsrahmenfreien Ausdruck

$$e^{-i\vec{\sigma}\cdot\hat{n}\theta/2} \, \vec{a}\cdot\vec{\sigma} \, e^{i\vec{\sigma}\cdot\hat{n}\theta/2}$$ Wo $\hat{n}\cdot\hat{n}=1$. Sie müssen die von Ihnen erwähnte Identität und die Eigenschaft anwenden $$(\vec{a}\cdot\vec{\sigma})(\hat{n}\cdot\vec{\sigma})=\vec{a}\cdot\hat{n}+i\vec{\sigma}\cdot(\vec{a}\times\hat{n}),$$ sowie Doppelwinkelformeln und ein dreifaches Vektorprodukt (dh nichts Einschüchterndes).

Es ist definitiv eine lohnende Übung, das durchzuarbeiten; Das Ergebnis ist

$$e^{-i\vec{\sigma}\cdot\hat{n}\theta/2} \, \vec{a}\cdot\vec{\sigma} \, e^{i\vec{\sigma}\cdot\hat{n}\theta/2} = \left[ \hat{n}(\hat{n}\cdot \vec a)+ \cos(\theta)(\vec{a}-\hat n(\hat n\cdot \vec a)) +\sin(\theta)\hat{n}\times\vec{a} \right]\cdot\vec{\sigma}.$$ Hier ist der Vektor in eckigen Klammern der gedrehte: $\vec{a}$Winkel gedreht $\theta$um Einheit $\hat{n}$. (Um zu sehen, was jeder Begriff tut, nehmen Sie einfach $\hat n$entlang der $z$Achse; die Cosinus- und Sinus-Terme beschreiben dann die On- und Off-Diagonal-Terme von $x,y$Untermatrix.)

Ich bin mir nicht sicher, nach welcher Art von Verknüpfung Sie suchen oder ob dies in diesem Sinne nützlich ist. Ich möchte nur sagen, dass manchmal die Rückkehr zu einer größeren Allgemeinheit die Rechenlast verringern oder zumindest klarer machen kann, was vor sich geht.

Für Mathe-Fans:

Das Hadamard Lemma sagt folgendes:

Lassen$X$Und$Y$dann quadratische, komplexe Matrizen sein

$$e^{X} Y e^{-X} = Y + [X,Y] + \frac{1}{2!}[X,[X,Y]] + \cdots.$$

Sie sollten (im Prinzip) in der Lage sein, dies zu verwenden, um jeden Ausdruck abzuleiten, den Sie erhalten.

Dieses Lemma kann auch mit den Operationen geschrieben werden$\mathrm{Ad}$Und$\mathrm{ad}$genannt "adjungiert", die in der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und Lie-Algebren wichtig sind (tatsächlich fällt all dieses Pauli-Matrix-Spin-Zeug unter diesen Oberbegriff). Diese Operationen sind definiert als

$$\mathrm{Ad}_g(X) = g X g^{-1}, \qquad \mathrm{ad}_X(Y) = [X,Y]$$ Diese Notation erlaubt es uns, das Lemma zu schreiben als $$\mathrm{Ad}_{e^X} = e^{\mathrm{ad}_X}$$