Was ist der Spinrotationsoperator für Spin > 1/2?

Question

Was ist der Spinrotationsoperator für Spin > 1/2?

Tarek

Zum Schleudern $\frac{1}{2}$ , der Spinrotationsoperator $R_\alpha(\textbf{n})=\exp(-i\frac{\alpha}{2}\vec{\sigma}\cdot\textbf{n})$ hat eine einfache Form :

R_{a} (N) = \cos (\frac{a}{2}) - ich \vec{σ} \cdot N Sünde (\frac{a}{2})

$R_\alpha(\textbf{n})=\cos\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggr)-i\vec{\sigma}\cdot\textbf{n}\sin\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggr)$

Was ist mit Spin > $\frac{1}{2}$ ?

Das V

Ich bin mir ziemlich sicher, dass die allgemeine Form für das Exponential zu kompliziert wäre. Die erste Beobachtung ist, dass das Spektrum von

- i α \vec{σ} \cdot n

$-i\alpha\vec\sigma\cdot\bf n$ in einem System mit Spin

s

$s$ Ist

(- i α (- s), - i α (- s + 1), \dots, - i α (s - 1), - i α s)

$(-i\alpha(-s),-i\alpha(-s+1),\ldots,-i\alpha(s-1),-i\alpha s)$ und damit goniometrische Funktionen von Argumenten

\frac{1}{2} α

$\frac12\alpha$ durch

s α

$s\alpha$ für halbzahlige Spins, oder

0

$0$ (dh ein konstanter Begriff) durch

s α

$s\alpha$ denn ganze Spins wären vorhanden.

Das V

Zum Beispiel im Fall

s = 1

$s = 1$ mit der von @Arnold Neumaier vorgeschlagenen Darstellung, siehe en.wikipedia.org/wiki/… . Sie können Begriffe identifizieren, die enthalten

\cos θ

$\cos\theta$ ,

\sin θ

$\sin\theta$ und Konstanten in den Matrixelementen. Bei höheren Drehungen wird das Ergebnis noch komplexer.

Das V

Der Grund, warum das Exponential in dem Fall eine so einfache Form hat

s = \frac{1}{2}

$s=\frac12$ ist das

\frac{α}{2}

$\frac\alpha2$ ist die einzige Frequenz, die von der Analyse, die ich oben gepostet habe, zulässig ist. Hier hilft es, dass die Kräfte von

\vec{σ} \cdot n

$\vec\sigma\cdot\bf n$ sind immer entweder Identität oder die ursprüngliche Matrix. In höheren Dimensionen das Set

{S_{x}^{k}}^{n}

$\{S_x^k\}^n$ Bahnen a

2 s + 1

$2s+1$ -dimensionalen Raum auf nicht periodische Weise. In Betracht ziehen

S_{z} = d i a g (- s, - s + 1, \dots, s - 1, s)

$S_z = \mathord{\rm diag}(-s,-s+1,\ldots,s-1,s)$ .

Antworten (2)

Was ist der Spinrotationsoperator für Spin > 1/2?

Ich bin mir ziemlich sicher, dass die allgemeine Form für das Exponential zu kompliziert wäre. Die erste Beobachtung ist, dass das Spektrum von $-i\alpha\vec\sigma\cdot\bf n$ in einem System mit Spin $s$ Ist $(-i\alpha(-s),-i\alpha(-s+1),\ldots,-i\alpha(s-1),-i\alpha s)$ und damit goniometrische Funktionen von Argumenten $\frac12\alpha$ durch $s\alpha$ für halbzahlige Spins, oder $0$ (dh ein konstanter Begriff) durch $s\alpha$ denn ganze Spins wären vorhanden.
Zum Beispiel im Fall $s = 1$ mit der von @Arnold Neumaier vorgeschlagenen Darstellung, siehe en.wikipedia.org/wiki/… . Sie können Begriffe identifizieren, die enthalten $\cos\theta$ , $\sin\theta$ und Konstanten in den Matrixelementen. Bei höheren Drehungen wird das Ergebnis noch komplexer.
Der Grund, warum das Exponential in dem Fall eine so einfache Form hat $s=\frac12$ ist das $\frac\alpha2$ ist die einzige Frequenz, die von der Analyse, die ich oben gepostet habe, zulässig ist. Hier hilft es, dass die Kräfte von $\vec\sigma\cdot\bf n$ sind immer entweder Identität oder die ursprüngliche Matrix. In höheren Dimensionen das Set $\{S_x^k\}^n$ Bahnen a $2s+1$ -dimensionalen Raum auf nicht periodische Weise. In Betracht ziehen $S_z = \mathord{\rm diag}(-s,-s+1,\ldots,s-1,s)$ .

Arnold Neumaier · Answer 1

Dasselbe, außer dass die $\sigma_k$ sind nun keine Pauli-Matrizen, sondern die Erzeuger einer su(2)-Darstellung des gewünschten Spins. Zum Beispiel die $3\times 3$ Matrizen

σ_{ℓ} := (2 ϵ_{J k ℓ})_{J, k = 1 : 3}

$\sigma_\ell:=(2\epsilon_{jk\ell})_{j,k=1:3}$ Definieren Sie die Spin-1-Darstellung auf 3-Vektoren. [Vielleicht sollte der Faktor 2 einen anderen Wert annehmen.] Die entsprechende explizite Formel stammt von der Rodrigues-Formel

e^{X (A)} = 1 + \frac{Sünde | A |}{| A |} X (A) + \frac{1 - \cos | A |}{| A |} X (A)^{2},

$e^{X(a)}=1+\frac{\sin|a|}{|a|}X(a)+\frac{1-\cos|a|}{|a|}X(a)^2,$ Wo

X (a)

$X(a)$ ist die Matrix, die einen Vektor abbildet

b

$b$ Zu

X (a) b = a \times b

$X(a)b=a \times b$ .

Bei höherem Spin hängt die entsprechende Formel davon ab, wie Sie die Darstellung schreiben. Numerisch würde man die Matrix im Exponenten einfach diagonalisieren; dann ist die Berechnung des Exponentials trivial. Ich weiß nicht, ob es für den allgemeinen Spin einen Vorteil gibt, eine explizite Formel zu haben.

Nun, die Exponentialform ist dieselbe, aber die Exponentialform wird nicht mit derselben einfachen Formel berechnet, indem nur eine verwendet wird $\cos$ und ein $\sin$ des Halbwinkels. Das wurde damit begründet $-i\frac\alpha2\vec\sigma\cdot\bf n$ mit nur zwei reinen imaginären Eigenwerten mit entgegengesetztem Vorzeichen. Die Generatoren in höherdimensionalen Darstellungen werden eine entsprechend höhere Anzahl von Eigenwerten haben, z. B. eine zusätzliche $0$ in dem Fall, den Sie für ein Beispiel verwendet haben.
Natürlich frage ich nach der analogen Formel für die Entwicklung des Exponentials nach Kosinus und Sinus, nicht nach der Spinmatrix!
Man kann Ihrer Frage nicht entnehmen, was Sie wollen, es sei denn, Sie schreiben es deutlich auf. Vielleicht möchten Sie Ihre Frage aktualisieren.

Pedro Aguilar · Answer 2

Was man für den Spin 1/2 hat,

\exp (ich a J \cdot \hat{N}) = \cos (a / 2) + ich Sünde (a / 2) J \cdot \hat{N},

$\begin{equation} \exp(i\alpha \mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}) = \cos(\alpha/2) + i\sin(\alpha/2)\mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}, \end{equation}$ auch für Spin 1 durch Rodrigues-Formel,

\begin{aligned} \exp (ich a J \cdot \hat{N}) & = 1 + ich \hat{N} \cdot J Sünde a + (\hat{N} \cdot J)^{2} (\cos a - 1) \\ = 1 + [2 ich \hat{N} \cdot J Sünde (a / 2)] \cos (a / 2) + \frac{1}{2} {[2 ich \hat{N} \cdot J Sünde (a / 2)]}^{2}, \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \exp(i\alpha \mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}) & = 1 + i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin\alpha + (\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J})^2(\cos\alpha-1) \\ & = 1 + \left[2i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin(\alpha/2)\right]\cos(\alpha/2) + \frac{1}{2}\left[2i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin(\alpha/2)\right]^2, \end{aligned} \end{equation}$ ist eine Spindarstellung von Rotationsoperatoren als Polynome endlicher Ordnung der Rotationsgeneratoren für

j = 1 / 2, 1

$j=1/2,1$ , wobei die Koeffizienten Sinus und Kosinus des halben Drehwinkels sind. Es war bekannt, dass dies für höhere Spindarstellungen erweitert werden könnte, aber der exakte Polynomausdruck für jeden Spin

j

$j$ blieb unbekannt. Glücklicherweise wurde dieser allgemeine Ausdruck 2014 von Curtright, Fairlie & Zachos gefunden. Ich hinterlasse hier ihre Veröffentlichung: http://arxiv.org/abs/1402.3541

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