Was ist die 4-dimensionale Matrixdarstellung des Rotationsoperators?

In meinem Artikel A Compact Formula for Rotations as Spin Matrix Polynomials, SIGMA 10 (2014), 084 , gibt es einen allgemeinen Ausdruck dafür, dass z. B. für die Dublette

$$\begin{gather*} e^{i(\theta/2)(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{\sigma})}=I_{2}\cos{\theta/2}+i(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{\sigma})\sin{\theta/2}, \end{gather*}$$ und das Triplett, $j=1$, So $J_{3}=\mathrm{diag}(1,0,-1)$, $$\begin{gather*} e^{i\theta(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})}=I_{3}+i(\boldsymbol{\hat {n}}\cdot\boldsymbol{J})\sin{\theta}+(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})^{2}(\cos\theta-1) \\ \phantom{e^{i\theta(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})}} =I_{3}+(2i\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J}\sin(\theta/2))\cos (\theta/2)+\tfrac{1}{2}(2i\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J}\sin (\theta/2))^{2}. \end{gather*}$$

Für das Quartett$j=3/2$,

$$\begin{gather} e^{i \theta (\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})} = I_4 \cos (\theta/2)\left(1+\tfrac{1}{2}\sin^2 (\theta/2)\right)+(2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin (\theta/2))\left(1+\tfrac{1}{6} \sin^2 (\theta/2) \right) \nonumber \\ \phantom{e^{i \theta (\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})}=}{} +\frac{1}{2!} \bigl (2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J}\sin (\theta/2) \bigr)^2 \cos (\theta/2)+\frac {1}{3!} \bigl (2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J}\sin (\theta/2) \bigr)^3. \label{quartet} \end{gather}$$

Für das Quintett$j=2$,

$$\begin{gather*} e^{i \theta(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})} = I_5+(2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin(\theta/2)) \cos(\theta/2)\left(1+\tfrac{2}{3}\sin^2(\theta/2)\right) \\ \phantom{e^{i \theta (\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})}=}{} +\frac{1}{2!} {(2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin(\theta/2))^2}\left(1+\tfrac{1}{3} \sin^2 (\theta/2)\right) \\ \phantom{e^{i \theta (\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})}=}{} +\frac{1}{3!} {(2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin(\theta/2))^3} \cos(\theta /2) +\frac{1}{4!} (2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin (\theta/2))^4. \end{gather*}$$

Für das Sextett$j=5/2$,

$$\begin{gather*} e^{i \theta(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})} = I_6 \cos(\theta/2)\left(1+ \tfrac{1}{2} \sin^2 (\theta/2+\tfrac{3}{8} \sin^4 (\theta/2)\right) \\ \phantom{e^{i \theta(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})} =}{} +(2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin(\theta /2))\left(1+\tfrac{1}{6}\sin^2(\theta/2) +\tfrac{3}{40}\sin^4(\theta /2)\right) \\ \phantom{e^{i \theta(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})} =}{} +\frac{1}{2!} {(2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin(\theta/2))^2} \cos(\theta /2) \left(1+\tfrac{5}{6}\sin^2(\theta/2)\right) \\ \phantom{e^{i \theta(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})} =}{} +\frac{1}{3!} {(2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin (\theta/2))^3}\left(1+\tfrac{1}{2}\sin^2(\theta/2) \right) \\ \phantom{e^{i \theta(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J})} =}{} +\frac{1}{4!} {(2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin(\theta/2))^4}\cos(\theta /2) +\frac{1}{5!} {(2i \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{J} \sin (\theta/2))^5}. \end{gather*}$$

usw...

Es gibt ein einfaches Muster und eine kompakte Formel für willkürlichen Spin, die in diesem Papier beschrieben werden.

Eine Möglichkeit, die expliziten Darstellungen von Rotationen zu konstruieren ($\mathrm{SO}(3)$) ist von der Matrixdarstellung der Hebe- und Senkoperatoren in der auszugehen$J_z$Basis,

$$J_\pm|j\,m\rangle = \hbar \sqrt{j(j+1) - m(m\pm 1)}|j\, (m\pm1)\rangle,$$ (Beachten Sie, dass, wenn sie als Matrizen geschrieben werden $J_\pm$haben Elemente über/unter der Hauptdiagonale, je nachdem, wie Sie die bestellen $J_z$Eigenzustände). Kehren Sie dann die Definition von um $J_\pm$, $J_{\pm} \equiv J_x \pm i J_y$, zu bekommen: $$\begin{align} J_x &= \frac{J_+ + J_-}{2},\ \mathrm{and} \\ J_y &= \frac{J_+ - J_-}{2i}. \end{align}$$ Daran erinnern, dass in der $J_z$Basis, $J_z$ist diagonal mit Matrixelementen: $$\langle j'\, m' | J_z | j\, m\rangle = \delta_{j\, j'} \delta_{m\, m'} \hbar m.$$

Sie können dann die expliziten Matrizen für einfügen$J_x$,$J_y$, Und$J_z$hinein$\exp\left(-i \frac{\theta}{\hbar} \hat{n} \cdot \vec{J}\right)$um eine bestimmte Matrix zu konstruieren (Beachten Sie, dass die Pauli-Matrizen gegeben sind durch$\sigma_i = \frac{2}{\hbar} J_i$für die Darstellung Spin 1/2). Eine allgemeine Form für die Matrizen zu erstellen, ist ein wenig schwierig, da Sie die Taylor-Entwicklung untersuchen, daraus einen Satz linear unabhängiger Basismatrizen konstruieren, sie gruppieren und die trigonometrischen Funktionen identifizieren müssen, die jede der Basismatrizen multiplizieren.

Wenn eine numerische Lösung ausreicht, haben Programmiersprachen wie Julia und MATLAB eine Funktion namens expm (für "Exponential einer Matrix").

Wenn Sie daran interessiert sind$j=1$Repräsentation, die sehr gut untersucht ist , mit mehreren Antworten, die zur Verfügung stehen. Ich würde vorschlagen, diese Antworten (insbesondere die Rotationsformel von Rodrigues ) mit dem zu vergleichen, was Sie mit dem oben Gesagten konstruieren$j=1$zu üben, bevor Sie fortfahren$j = 3/2$oder höher.

Es gibt mehrere Vorgehensweisen.

Beachten Sie zunächst, dass Mathematica eine eingebaute Funktion namens WignerD hat und diese Funktion Ihnen das Matrixelement einer Rotationsmatrix liefert. Ich habe festgestellt, dass diese Funktion anscheinend nicht dieselbe Parametrisierung verwendet wie Varshalovich, Dmitriĭ Aleksandrovich, Anatolij Nikolaevič Moskalev und Valerii Kel'manovich Khersonskii. Quantentheorie des Drehimpulses. 1988. , was meiner Meinung nach die Bibel bleibt. Es scheint, dass Sie das Negativ aller Winkel in WignerD verwenden müssen, um die Formeln von Varshalovich zu erhalten.

Es gibt verschiedene geschlossene Formausdrücke für

$$\begin{align} d^j_{mm'}(\beta)&:= \langle jm\vert R_y(\beta)\vert jm'\rangle \, \end{align}$$ wie zum Beispiel $$\begin{align} d^j_{mm'}(\beta)&=(-1)^{j-m'} \sqrt{(j+m)!(j-m)!(j+m')!(j-m')!}\\ &\times \sum_k (-1)^k \frac{\left(\cos\frac{1}{2}\beta\right)^{m+m'+2k} \left(\sin\frac{1}{2}\beta\right)^{2j-m-m'-2k}} {k!(j-m-k)!(j-m'-k)!(m+m'+k)!}\, . \end{align}$$ Es gibt auch einen Ausdruck in Bezug auf Jacobi-Polynome: $$\begin{align} d^j_{mm'}(\beta)&=\xi_{mm'} \sqrt{\frac{s!(s+\mu+\nu)!}{(s+\mu)!(s+\nu)!}} \left(\sin\textstyle\frac{1}{2}\beta\right)^\mu \left(\cos\textstyle\frac{1}{2}\beta\right)^\nu P_s^{\mu,\nu}(\cos\beta) \end{align}$$ mit $$\mu=\vert m-m'\vert\, ,\quad \nu=\vert m+m'\vert\, ,\quad s=j-\frac{1}{2}(\mu+\nu)$$ und die Phase $$\xi_{mm'}=\left\{\begin{array}{cc} 1&\quad \hbox{if } m'\ge m\, \\ (-1)^{m'-m}&\quad \hbox{if } m'<m\, .\end{array}\right.$$

Schließlich gibt es ein Verfahren, das auf Rekursionsbeziehungen basiert. Dies ist ausführlich beschrieben in Wolters, GF "Einfache Methode zur expliziten Berechnung von d-Funktionen". Kernphysik B 18.2 (1970): 625-653. Beginnen mit

$$\langle jm\vert R_y(\beta) L_x\vert jm'\rangle$$ man kann eine Rekursionsrelation erhalten $$\begin{align} &\sqrt{(j-m')(j+m'+1)}d^j_{m,m'+1}(\beta) +\sqrt{(j+m')(j-m'+1)}d^j_{m,m'-1}(\beta)\\ &\qquad = 2\hbox{cosec}(\beta)(m'\cos\beta-m)d^j_{mm'}(\beta) \end{align}$$ Die Funktion $$\begin{align} d^j_{mj}(\beta)&={2j \choose j+m}^{1/2} \left(\cos\textstyle\frac{1}{2}\beta\right)^{j+m} \left(\sin\textstyle\frac{1}{2}\beta\right)^{j-m}\, ,\\ \end{align}$$ kann als Startwert für die Rekursion verwendet werden.

Als Matrix mit Elementen$d^{3/2}_{mm'}(\beta)$, die expliziten Ergebnisse für$j=3/2$Ist

$$\begin{align} &R_y(\beta)=\\ &{\scriptsize\left( \begin{array}{cccc} \cos ^3\left(\frac{\beta }{2}\right) & -\sqrt{3} \cos ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) \sin \left(\frac{\beta }{2}\right) & \sqrt{3} \cos \left(\frac{\beta }{2}\right) \sin ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) & -\sin ^3\left(\frac{\beta }{2}\right) \\ \sqrt{3} \cos ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) \sin \left(\frac{\beta }{2}\right) & \frac{1}{2} \cos \left(\frac{\beta }{2}\right) (3 \cos (\beta )-1) & -\frac{1}{2} (3 \cos (\beta )+1) \sin \left(\frac{\beta }{2}\right) & \sqrt{3} \cos \left(\frac{\beta }{2}\right) \sin ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) \\ \sqrt{3} \cos \left(\frac{\beta }{2}\right) \sin ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) & \frac{1}{2} (3 \cos (\beta )+1) \sin \left(\frac{\beta }{2}\right) & \frac{1}{2} \cos \left(\frac{\beta }{2}\right) (3 \cos (\beta )-1) & -\sqrt{3} \cos ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) \sin \left(\frac{\beta }{2}\right) \\ \sin ^3\left(\frac{\beta }{2}\right) & \sqrt{3} \cos \left(\frac{\beta }{2}\right) \sin ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) & \sqrt{3} \cos ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) \sin \left(\frac{\beta }{2}\right) & \cos ^3\left(\frac{\beta }{2}\right) \\ \end{array} \right)} \end{align}$$ mit den Spalten und Zeilen als bestellt $3/2,1/2,-1/2,-3/2$.