Gesamtspin-Drehimpuls eines Zwei-Spin-1/2-Teilchensystems

Ja, das können sie, es ist die$\left| 1, -1 \right>$Staat, aber$S$ist die Größe des Spins. Sie denken an Eigenwerte des Operators$\hat{S}$. Diese Eigenwerte sind$M_s$, lassen Sie sich von der Notation nicht verwirren.

Im$\vert{S, M_S}\rangle$Die$S$es bezieht sich auf die Norm des hinzugefügten Spins und$M_S$es ist die Ausrichtung (Projektion in einer Achse). Also das alte Intuitive$-1$drehen es ist die$\vert{1, -1}\rangle$ket.

fragte OP

Warum können wir keinen Zustand mit haben$s=−1$?

1. Nun, dies folgt aus Definitionen in der Darstellungstheorie für die$su(2)$ Lügenalgebra mit Generatoren$\hat{S}_i$. Der Betreiber$\hbar^{-2}\hat{\bf S}^2$ist semi-positiv definit und ein Casimir . Damit sind seine Eigenwerte gemeint$\lambda\in [0,\infty[$sind nicht negativ,

   $$\hat{\bf S}^2|v\rangle~=~ \hbar^2\lambda|v\rangle.$$ Hier$\hbar^2$ist enthalten zu machen$\lambda$dimensionslos.

2. Als nächstes definieren wir eine bijektive Abbildung

   $$[0,\infty[~\ni~ s\quad\mapsto \quad s(s+1)~=~\lambda~\in~[0,\infty[.$$ Anstatt irreduzible Darstellungen mit zu kennzeichnen$\lambda\in [0,\infty[$, könnten wir irreduzible Darstellungen genauso gut mit beschriften$s\in [0,\infty[$. In der Praxis verwenden Physiker$s$(und Mathematiker verwenden$2s$), da für endlichdimensionale irreduzible Darstellungen$s$stellt sich als halbe ganze Zahl heraus, $$s~\in~\frac{1}{2}\mathbb{N}_0.$$

3. Insbesondere,$s$ist per definitionem nie negativ, vgl. Frage von OP. Im semiklassischen Regime$s \gg 1$, Die Variable$s$hat die physikalische Interpretation, dass es ungefähr die Größenordnung ist

   $$\sqrt{\lambda}~=~\sqrt{s(s+1)}~\approx~ s\qquad\text{for}\qquad s ~\gg~ 1$$ des Spinvektors$\hbar^{-1}\hat{\bf S}$.

In Betracht ziehen$\mathbf{J}_1$Und$\mathbf{J}_2$seien zwei Drehimpulsoperatoren, die auf den Zustandsraum wirken$\mathcal{E}_1$Und$\mathcal{E}_2$. Der Gesamtdrehimpuls$\mathbf{J}=\mathbf{J}_1+\mathbf{J}_2$wirkt auf den gesamten Zustandsraum$\mathcal{E}_1\otimes \mathcal{E}_2$.

Sie haben es nur mit dem Einzelfall zu tun$\mathbf{J}_i=\mathbf{S}_i$.

Es gibt eine natürliche Basis auf dem Gesamtraum, gebildet durch die gemeinsamen Eigenvektoren$J_1^2,J_2^2,J_{1z},J_{2z}$welches ist

das nennst du entkoppelt. Diese Basis ist nicht geeignet, um mit dem Gesamtdrehimpuls umzugehen.

Der springende Punkt ist, dass wir den neuen Satz von Pendelobservablen berücksichtigen können$J_1^2,J_2^2,J^2,J_z$. Seit$\mathbf{J}$ist auch Drehimpuls,$J^2$hat Eigenwerte$j(j+1)\hbar^2$Und$J_z$hat Eigenwerte$m\hbar$. Die Eigenvektoren, die die Basis bilden, die diesem pendelnden Satz von Observablen entspricht, haben die Form

Es bleibt, die möglichen Werte von zu bestimmen$j$. Nun kann man das Gegebene beweisen$j_1$,$j_2$die einzig möglichen Werte von$j$, und damit die einzig möglichen Kets$|j_1,j_2,j,m\rangle$, sind die folgenden

also wählst du$j_1,j_2$Beginnen Sie mit der Summe und subtrahieren Sie weiter$1$bis du den Unterschied erreichst$|j_1-j_2|$. Dies sind die möglichen Werte für$j$.

In Ihrem Fall$j_1,j_2=1/2$, also das einzige Paar$j_1,j_2$Ist$1/2,1/2$und für dieses Paar können Sie überprüfen, ob Sie nur haben$j=1,0$.

Das ist die Grundidee. Ich empfehle dringend, die vollständige Entwicklung dieser Ideen zu lesen. Ein guter Text sind die Kapitel zu diesem Thema in Cohens Buch "Quantum Mechanics, Vol. 2".