Vereinfachung einer Summe von Produkten von Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Question

Vereinfachung einer Summe von Produkten von Clebsch-Gordan-Koeffizienten

jawheele

Ich versuche, diese Summe mit den Produkten von vier Clebsch-Gordan-Koeffizienten zu vereinfachen:

\begin{aligned} \sum_{M_{1} M_{2} M_{3} K K^{'} M} (- 1)^{J_{1} + J_{2} + J_{3} + G + M_{1} + M_{2} + M_{3} - M} ⟨ J_{1} M_{1}; J_{2} M_{2} | J K ⟩ \\ \times ⟨ J_{2} - M_{2}; J_{3} M_{3} | J^{'} K^{'} ⟩ \times ⟨ J_{3} - M_{3}; J_{1} - M_{1} | G - M ⟩ \times ⟨ J K; J^{'} K^{'} | G M ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} &\sum_{m_1 m_2 m_3 K K' M} (-1)^{j_1+j_2+j_3+G+m_1+m_2+m_3-M} \langle j_1\ m_1; j_2\ m_2|J\ K\rangle \\ &\times \langle j_2\ -m_2;j_3\ m_3|J'\ K'\rangle \times \langle j_3\ -m_3;j_1\ -m_1|G\ -M\rangle \times \langle J\ K;J'\ K'|G\ M\rangle \end{align}$ wo jeder von

j_{1}

$j_1$ ,

j_{2}

$j_2$ , Und

j_{3}

$j_3$ sind Halbzahlen, und die Summen werden über alle zulässigen Werte für jeden Parameter genommen (

- j_{1}

$-j_1$ Zu

j_{1}

$j_1$ ,

- j_{2}

$-j_2$ Zu

j_{2}

$j_2$ , usw.). Ich habe hier mehrere Identitäten in Wolframs Liste durchgesehen , aber ich konnte keine unter den Identitäten mit zwei Begriffen finden, die ich anwenden könnte, und ich bin nicht vertraut (und habe im Moment leider keine Zeit, sie zu lernen). 6-j- und 9-j-Symbole, die in den komplizierteren verwendet werden. Ich erwarte, dass sich die Summe schön vereinfacht (wie alle anderen, die mir bisher in diesem Zusammenhang begegnet sind), aber ich kann nicht sehen, wie.

ZeroTheHero

es sei denn, es gibt eine Überraschung bei den Phasen oder bei den Zeichen Ihrer Projektionen (die übrigens bei oberflächlicher Betrachtung nicht ganz richtig aussehen), sehr, sehr wahrscheinlich a

6 j

$6j$ Symbol.

jawheele

Was lässt Sie sagen, dass die Zeichen nicht richtig aussehen?

jawheele

Ich habe einige Male auf meine Quellenberechnungen zurückgeblickt, die zu dieser Summe geführt haben, und ich bin zuversichtlich, dass dies die richtigen Zeichen sind. Ihre Hilfe wird sehr geschätzt!

Emilio Pisanty

Wenn der Ausdruck von ZeroTheHero nicht funktioniert, wäre es hilfreich, etwas mehr Kontext darüber zu haben, woher dies kommt, da dies oft helfen kann, die richtige Richtung aufzuzeigen. Clebsch-Gordan-Manipulationen sind chaotisch und koeffizient, aber letztendlich machen Sie nur Geometrie, und es hilft nicht oft, die Geometrie zu vergessen.

ZeroTheHero

@jawheele Bitte überprüfen Sie meinen bearbeiteten Ausdruck, da ich in meinem vorherigen Ausdruck ein allgemeines Phasenproblem hatte.

Antworten (1)

Vereinfachung einer Summe von Produkten von Clebsch-Gordan-Koeffizienten

es sei denn, es gibt eine Überraschung bei den Phasen oder bei den Zeichen Ihrer Projektionen (die übrigens bei oberflächlicher Betrachtung nicht ganz richtig aussehen), sehr, sehr wahrscheinlich a $6j$ Symbol.
Was lässt Sie sagen, dass die Zeichen nicht richtig aussehen?
Ich habe einige Male auf meine Quellenberechnungen zurückgeblickt, die zu dieser Summe geführt haben, und ich bin zuversichtlich, dass dies die richtigen Zeichen sind. Ihre Hilfe wird sehr geschätzt!
Wenn der Ausdruck von ZeroTheHero nicht funktioniert, wäre es hilfreich, etwas mehr Kontext darüber zu haben, woher dies kommt, da dies oft helfen kann, die richtige Richtung aufzuzeigen. Clebsch-Gordan-Manipulationen sind chaotisch und koeffizient, aber letztendlich machen Sie nur Geometrie, und es hilft nicht oft, die Geometrie zu vergessen.
@jawheele Bitte überprüfen Sie meinen bearbeiteten Ausdruck, da ich in meinem vorherigen Ausdruck ein allgemeines Phasenproblem hatte.

ZeroTheHero · Answer 1

Sie sollten es noch einmal überprüfen, aber die Summe scheint durch gegeben zu sein

\begin{matrix} (1) & (2 G + 1) \sqrt{(2 J^{'} + 1) (2 J + 1)} {\begin{array}{ccc} J_{1} & J_{2} & J \\ J^{'} & G & J_{3} \end{array}} \end{matrix}

$(2G+1)\sqrt{(2J'+1)(2J+1)} \left\{\begin{array}{ccc} j_1&j_2&J\\ J'&G&j_3 \end{array}\right\}\tag{1}$

Um dorthin zu gelangen, ist es am einfachsten, mit der Definition von zu beginnen $6j$ Symbol:

\begin{aligned} \sum_{{\bar{M}}_{1} {\bar{M}}_{2} {\bar{M}}_{3} {\bar{M}}_{12} {\bar{M}}_{23}} ⟨ {\bar{J}}_{12} {\bar{M}}_{12}; {\bar{J}}_{3} {\bar{M}}_{3} | \bar{J} \bar{M} ⟩ ⟨ {\bar{J}}_{1} {\bar{M}}_{1}; {\bar{J}}_{2} {\bar{M}}_{2} | {\bar{J}}_{12} {\bar{M}}_{12} ⟩, \\ \times ⟨ {\bar{J}}_{1} {\bar{M}}_{1}; {\bar{J}}_{23} {\bar{M}}_{23} | \bar{J^{'}} \bar{M^{'}} ⟩ ⟨ {\bar{J}}_{2} {\bar{M}}_{2}; {\bar{J}}_{3} {\bar{M}}_{3} | {\bar{J}}_{23} {\bar{M}}_{23} ⟩ \\ = δ_{\bar{J} \bar{J^{'}}} (- 1)^{{\bar{J}}_{1} + \bar{J_{2}} + {\bar{J}}_{3} + \bar{J}} \sqrt{(2 {\bar{J}}_{12} + 1) (2 {\bar{J}}_{23} + 1)} {\begin{array}{ccc} {\bar{J}}_{1} & {\bar{J}}_{2} & {\bar{J}}_{12} \\ {\bar{J}}_{3} & \bar{J} & {\bar{J}}_{23} \end{array}} \end{aligned}

$\begin{align} &\sum_{\bar{m}_1\bar{m}_2\bar{m}_3\bar{m}_{12}\bar{m}_{23}} \langle \bar{j}_{12}\bar{m}_{12};\bar{j}_3\bar{m}_3\vert \bar{j}\bar{m}\rangle \langle \bar{j}_{1}\bar{m}_{1};\bar{j}_2\bar{m}_2\vert \bar{j}_{12}\bar{m}_{12}\rangle\, ,\\ &\qquad\qquad \times \langle \bar{j}_{1}\bar{m}_{1};\bar{j}_{23}\bar{m}_{23}\vert \bar{j'}\bar{m'}\rangle \langle \bar{j}_{2}\bar{m}_{2};\bar{j}_3\bar{m}_3\vert \bar{j}_{23}\bar{m}_{23}\rangle\\ &=\delta_{\bar{j}\bar{j'}} (-1)^{\bar{j}_1+\bar{j_2}+\bar{j}_3+\bar{j}} \sqrt{(2\bar{j}_{12}+1)(2\bar{j}_{23}+1)} \left\{\begin{array}{ccc} \bar{j}_1&\bar{j}_2&\bar{j}_{12}\\ \bar{j}_3&\bar{j}&\bar{j}_{23} \end{array}\right\} \end{align}$ Dies ist die Gleichung (9.1.8) von DA Varshalovich et al ., Quantum Theory of Angular Momentum (1988 englische Ausgabe von WorldScientific; in der russischen Ausgabe befindet sich ein Teil des Materials an anderen Stellen).

Es gibt einige CGs, die in die richtige Form manipuliert werden müssen, aber im Grunde ist es die Identifizierung

{\bar{J}}_{1} \to J_{1}, {\bar{J}}_{2} \to J_{2}, {\bar{J}}_{3} \to J^{'}, {\bar{J}}_{12} \to J, {\bar{J}}_{23} \to J_{3}, \bar{J} = \bar{J^{'}} \to G,

$\bar{j}_1\to j_1\, ,\quad \bar{j}_2\to j_2\, ,\quad \bar{j}_3\to J' \, ,\quad \bar{j}_{12}\to J\, ,\quad \bar{j}_{23}\to j_3\, ,\quad \bar{j}=\bar{j'}\to G\, ,$ Ihr Ausdruck weist eine Endsumme auf

M

$M$ die eine zusätzliche bietet

(2 G + 1)

$(2G+1)$ Faktor, wobei (1) als letzter Ausdruck angegeben wird.

Ich habe es mit ungefähr einem halben Dutzend Werten überprüft und es scheint zu funktionieren, aber bitte überprüfen Sie dies noch einmal, da ich einen Satzfehler gemacht haben könnte.

Bearbeiten : Nach Kommentaren habe ich es noch einmal überprüft und festgestellt, dass mein ursprünglicher Ausdruck die falsche Gesamtphase hatte. Ich glaube, dass die aktuelle Gleichung (1) korrekt ist, dh die Gesamtphase ist korrekt $+1$ . Ich habe das Ergebnis auf verschiedene halbzahlige und ganzzahlige Werte von überprüft $j_1,j_2$ Und $j_3$ unter Verwendung der eingebauten ClebschGordan- und SixJSymbol-Routinen von Mathematica.

Hallo ZTH, ich habe Ihr Ergebnis mit Mathematica überprüft, und es funktioniert gut bis auf ein Vorzeichen, also verwenden Sie entweder eine andere Konvention für die $6j$ Symbol, oder es gibt einen Faktor von $(-1)^\mathrm{something}$ fehlt irgendwo (oder ich habe meinen MMA-Code durcheinander gebracht). Verwenden Sie die gleiche def. für $6j$ wie in wikipedia?
@AccidentalFourierTransform Danke fürs Überprüfen. Ich hatte Probleme mit dem Schild und werde es später noch einmal überprüfen. Ich habe es wie Sie mit Mma überprüft, damit das Problem nicht in der Definition von liegt $6j$ ; Ich könnte irgendwo eine Phase verloren haben, einen Fehler in den Substitutionen gemacht haben, als ich es in Mma eingegeben habe usw.. Meine ursprüngliche Phase war $(-1)^{(2j_2+J')}$ und funktionierte nicht ganz mit den Beispielen, die ich ausprobierte, und ich fand irgendwie einen anderen Faktor von $(-1)^{J'}$ aber ich hätte es vermasseln können.
@AccidentalFourierTransform Ich glaube, ich habe die Phase in der Berechnung korrigiert. Siehe meine Bearbeitung.
@AccidentalFourierTransform danke, dass du es selbst überprüft hast.

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